Глава 8. Прямое преобразование лапласа и операторные передаточные функции

Операционное исчисление широко применяется для решения за-

дач электротехники.

Существует множество преобразований, используемых математи-

ками: преобразования Лапласа, Карсона, Фурье и другие. Все они име-

ют свои достоинства и недостатки, но преобразование Лапласа получи-

ло наибольшее распространение – MathCAD имеет встроенную под-

_{держку данного преобразования (рис. 2.51).}

Рис. 2.51

Более подробно применение операционного исчисления для ре- шения линейных дифференциальных уравнений и систем можно рас- смотреть в [14].

Рассмотрим подробно вывод операторной передаточной функции однозвенного LC-фильтра низких частот (ФНЧ) (рис. 2.52).

_{L R}

^U _ВХ (^t ) ^{= 1⋅ sin} (^ωt )

^{C R}НАГР

^U ВЫХ

L = 10 ⋅10⁻³ Гн C = 100 ⋅10⁻⁶ Ф R = 1 Ом

Рис. 2.52

На первом этапе необходимо составить систему дифференциаль- ных уравнений, описывающих состояние ФНЧ. На вход ФНЧ подаётся гармонический сигнал. Будем использовать следующие обозначения переменных:

U _{ВХ (}t ₎

- входное напряжение,

^U _ВЫХ ^{(t )}

- выходное напряжение,

i_{L (}t ₎

i_{C (}t ₎

i_{Н (}t ₎

- ток катушки индуктивности,

- ток конденсатора,

- ток нагрузки.

По второму закону Кирхгофа входное напряжение уравновешива-

ется как

_{U (t ) = L} ^di_L ^{(t )} _{+ i}

_{(t ) ⋅ R + U}

_{(t ) .} ^{( 2.7 )}

^ВХ _dt

L ВЫХ

_{Согласно первому закону Кирхгофа ток катушки индуктивности}

ⁱ_L ^{расщепляется на ток конденсатора i}_C

^{и ток нагрузки i}_Н

i_{L (}t ₎ = i_{C (}t ₎ + i_{Н (}t ₎ . ₍ 2.8₎

_{Известно, что ток конденсатора определяется как}

_{i (t ) = C} ^{dU ВЫХ (t )} _, ^{( 2.9)}

^{C dt}

_{а ток нагрузки по закону Ома выразим как}

Н

_{i (t ) =} ^{U ВЫХ (t )} _.

^R_НАГР

₍ 2.10₎

Система дифференциальных уравнений, описывающих состояние

_{ФНЧ с учётом 2.7-2.10, выглядит следующим образом}

_⎧

_⎪^U _ВХ

_⎪

_⎨

(^t ) ^{= L diL (t ) + i} dt ^L

(^t ) ^{⋅ R + U}

ВЫХ

(^t )

₍ 2.11₎

^⎪_i

^⎪_⎩ L

_{(t ) = C} ^{dU ВЫХ (t )} ₊ ^{U ВЫХ (t )} _.

^{dt R}_НАГР

Применим к выражению 2.11 прямое преобразование Лапласа и получим систему алгебраических уравнений в изображениях и прове- дём алгебраические преобразования

_{⎧U ВХ ( s ) = ( L ⋅ s + R ) ⋅ iL ( s ) + U ВЫХ ( s )}

_⎪

_⎨

_⎪ⁱ_L

⎜

_{( s ) =} ^⎛ _{C ⋅ s +} ¹

_R

_⎞

_⎟ ^⋅U

_ВЫХ

₍ s ₎,

₍ 2.12₎

_⎩ ^{⎝ НАГР ⎠}

где s – оператор Лапласа.

Подставим второе уравнение системы (2.12) в первое и проведём алгебраические преобразования

_{U ( s ) = ( L ⋅ s + R ) ⋅ ⎛ C ⋅ s + 1 ⎞ ⋅U}

_{( s ) + U}

_{( s ),}

_{ВХ ⎜ ⎟}

_{ВЫХ ВЫХ}

_⎝ ^R_{НАГР ⎠}

_{( 2.13)}

_{⎛ ⎛}

_{U ( s ) = ( L ⋅ s + R ) ⋅ C ⋅ s +}

_{1 ⎞ ⎞}

+ 1 ⋅U

_{( s ).}

ВХ ^⎜

⎜ _R ⎟

^⎟ ВЫХ

^{⎝ ⎝ НАГР ⎠ ⎠}

Операторной передаточной функцией ФНЧ

^W ( ^s )

называется от-

ношение изображение выходного сигнала U _{ВЫХ (} s ₎

ко входному U _{ВХ (} s ₎

_{W ( s ) =} ^{U ВЫХ ( s )} _. ^{( 2.14)}

^U _ВХ ^{( s )}

С учётом 2.14 и 2.13 запишем выражение для операторной пере-

_{даточной функции ФНЧ}

^W ( ^s ) ⁼

1

_{( L ⋅ s + R ) ⋅ ⎛ C ⋅ s +}

_.

_{1 ⎞ + 1}

₍ 2.15₎

_{⎜ ⎟}

_⎝ ^R_{НАГР ⎠}