§ 2.4. Графическое решение системы нелинейных уравнений. Постановка задачи

Пусть имеется генератор постоянного тока с ЭДС E и внутренним сопротивлением r (рис. 3.7). К генератору подключен идеальный диод VD1. По цепи протекает ток I.

r

_E

_I

_{Рис. 3.7}

Имеются следующие исходные данные:

– ЭСД E = 1 В,

– сопротивление r = 1 Ом,

_{– температура диода T = 300 К,}

^{– обратный ток диода I}₀ ^{= 10·10-18 А,}

Требуется графическим способом определить напряжение и мощ-

ность на диоде, ток в цепи.

§ 2.5. Получение системы нелинейных уравнений

Согласно второму закону Кирхгофа ЭДС генератора E уравнове- шивается падением напряжения на сопротивлении r и напряжением на диоде VD1

_{E = I ⋅ r + U ,}

или

_{I =} ^{E − U}

^r

_. (3.13)

_{Вольтамперная характеристика диода описывается уравнением}

⎜ ⎟

_⎛ ^{U ⋅q} _⎞

где

I = I₀ ⋅ ^⎜ e ^{k ⋅T} − 1^⎟ , _(3.14)

⎝ ⎠

I₀ – тепловой (обратный) ток p-n-перехода,

_{U – напряжение, приложенное к p-n-переходу,}

q = 1.6 ⋅ 10⁻¹⁹ Кл

_{– заряд электрона,}

_{k = 1.38 ⋅ 10}^{−23 Дж} _{– постоянная Больцмана,}

^К

T – температура p-n-перехода.

_{С учётом (12) и (13) составим систему нелинейных уравнений}

_{⎧ ⎛} ^{U ⋅q} _⎞

0

^⎪_{I = I ⋅} ^⎜ _e k ⋅T _{− 1}^⎟

⎪ _{⎜ ⎟}

^⎨ _{⎝ ⎠}

^⎪ _{E − U}

_{⎪I = .}

_{⎩ r} ^(3.15)

_{Подставим численные значения из условий задачи}

_{⎧ ⎛ U ⋅1.6⋅10}⁻¹⁹ _⎞

^{−18 ⎜} −23 ^{⎟ −17} ₍ ^{U ⋅38.647} ₎

_⎪

_{I = 10 ⋅10 ⋅ e1.38⋅10 ⋅300 − 1 = 10 ⋅ e − 1}

_⎪

⎨

_⎪

_{⎪I =} ^{1 − U}

_{⎜ ⎟}

_{⎜ ⎟}

^{⎝ ⎠}

_{= 1 − U .}

_(3.16)

⎩^⎪ 1

§ 2.6. Численное решение задачи в Excel

Графическим решением системы из двух уравнений (3.17) являет- ся тока пересечения прямой и экспоненты. Введём две функции от пе- ременной U

⎪

^{⎧ f}₁ (^U ) ^{= 10−17 ⋅} ₍^{eU ⋅38.647 − 1}₎

_⎨

^⎪_⎩ ^f₂ ^{(U ) = 1 − U .}

(3.17)

_{Переменная U изменяется в}

_{пределах от 0.9 до 0.97 В с шагом}

_{0.005 В. Введём в ячейку А1}

_{начальное значение переменной 0.9, в}

_ячейку

_{А2 введём 0.905. Для}

_{ввода интервала}

_{переменных выделим}

массив А1-А2 и протянем мышкой левый нижний угол массива до ячей-

_{ки А15 (рис. 3.8).}

Рис. 3.8

^{В ячейку B1 введём формулу f}₁ ^{(U ) , а в ячейку C1 – формулу}

f_{2 (}U ₎

(рис. 3.9).

_{Рис. 3.9}

Содержимое ячейки B1 копируем в ячейку B2, а содержимое ячейки C1 – в C2 («копировать» - <Ctrl+C>, «вставить» - <Ctrl+V>). Вы- деляем массив ячеек A1-C2 и протягиваем выделение до C15. В столбце А1-А15 находится массив переменной, в столбцах B1-B15 – массив

функции

f_{1 (}U ₎ , в столбцах C1-C15 – массив функции

_{Рис. 3.10}

f_{2 (}U ₎ .

Выделим массив A1-C15, вызовём «Мастер диаграмм», выберем тип «Точечная диаграмма» (см. рис. 3.5), проставим линии сетки по вер- тикали и горизонтали, выберем диапазон значений переменной 0.9-0.96,

выберем тип заливки «прозрачная». Получим график функций

^f₁ ^{(U ) и}

f_{2 (}U ₎

(рис. 3.11).

_{Рис. 3.11}

_{В точке пересечения с координатами}

_{U = 0.94 В и}

_{I = 0.06 А}

_на-

_{ходится решение системы уравнений. Мощность, выделяемая}

_{на диоде}

_{определим как}

_{P = 0.94 ⋅ 0.06 = 0.0564 Вт .}