§ 2.2. Получение нелинейного уравнения

_{Индуктивность L катушки определяется как отношение потокос-}

цепления катушки

Ψ к току i

_{L =} ^Ψ _{. (3.1)}

ⁱ

_{Потокосцепление катушки пропорционально произведению числа}

витков w на средний поток

S

Ф через сечение магнитопровода площадью

_{Ψ = w ⋅ Ф . (3.2)}

Площадь сечения тороидального магнитопровода

_{S = π ⋅ r} ² _. ^(3.3)

Согласно закону полного тока

_{i ⋅ w = H ⋅ l , (3.4)}

откуда

_{i =} ^{H ⋅ l} _{, (3.5)}

^w

где H – напряжённость магнитного поля,

l – длина средней силовой линии магнитопровода

l = 2 ⋅ π ⋅ ₍ R − r ₎ . ^(3.6)

_{Поток Ф через поперечное сечение магнитопровода пропорцио-}

_{нален произведению магнитной индукции}

_{B на площадь сечения S}

Ф=B ⋅ S . (3.7)

Магнитная индукция B связана с напряжённостью магнитного поля H

где

_{µ = 4 ⋅ π ⋅10}^{−7 Гн}

⁰ _м

B = µ ⋅ µ₀ ⋅ H , (3.8)

– магнитная постоянная.

_{Учитывая (1) – (7) индуктивность катушки определяется как}

2

L w = _Ψ = _{w ⋅ Ф} = _w

_{⋅ S ⋅ B} = w₂ ⋅ _S ⋅ _{µ ⋅ µ0 ⋅ H}

_w² _{⋅ π ⋅ r} ²

=

_{⋅ µ ⋅ µ0}

^{( ) i H ⋅ l}

w

^{H ⋅ l l H}

_{w2 ⋅ r 2 ⋅ µ ⋅ µ}

^{2 ⋅ π ⋅ ( R − r )}

L ₍ w₎ =

⁰ _{. (3.9)}

^{2 ⋅ ( R − r )}

Согласно условиям задачи составим нелинейное уравнение

L ₍ w₎ − L₀ = 0 . ^(3.10)

Одним из способов решения нелинейного уравнения является графическое решение. Введём нелинейную функцию

^{f ( w) = L ( w) − L}₀ ^{. (3.11)}

Построив график знакопеременной функции

^f ( ^w) ^{, определим}

искомое число витков w , при котором функция меняет знак.

_цию

Подставив численные данные

из условия задачи, запишем функ-

_{2 2 2 2}

_{−12 −7}

= _{w ⋅ r}

_{⋅ µ ⋅ µ0} − = _w

_{⋅ 32}

_⋅10

_{⋅160 ⋅ 4 ⋅ π ⋅10}

f ₍ w₎

L

2 ⋅ ₍ R − r ₎ ⁰

^{2 ⋅10−6 ⋅} (^{160 − 32})

− 0.05

_(3.12)

^f ( ^w) ^{= w2 ⋅ 8.042 ⋅10−10 − 0.05 .}

§ 2.3. Численное решение задачи в Excel

Начальное приближение w = w_нач = 7880

найдём из уравнения

_(3.12).

_{Введём начальное приближение в ячейку B3. В ячейку C3}

введём формулу согласно (3.11) (рис. 3.3). В ячейке C3 отобразится значение функции -6.36835E-05. В ячейку B4 введём следующее значе- ние переменной 7881, отличающееся от предыдущей на шаг ∆w=1.

Рис. 3.3

Выделить массив ячеек B3-B4. Поместить курсор на правый ниж- ний угол выделенного массива. Нажать левую кнопку мышки и не от- пуская кнопку протянуть курсор вниз и выделить полный массив ячеек переменных B3-B13 (рис. 3.4 а).

_а б

Рис. 3.4

Выделить ячейку C3. Поместить курсор на правый нижний угол выделенной ячейки. Нажать левую кнопку мышки и не отпуская кноп- ку протянуть курсор вниз и выделить полный массив ячеек функции C3-C13 (рис. 3.4 б). Теперь необходимо построить график функции.

_{Выделить полный массив B3-C13. В}

_{верхнем меню программы Excel}

выбрать радел «Вставка» и этом разделе выбрать опцию «Диаграмма» (рис. 3.5 а). В появившемся диалоговом окне выбрать точечную диа- грамму со значениями, соединёнными сглаживающими линиями (рис.

3.5 б). На диаграмме необходимо выполнить прозрачную заливку, под-

писи осей и координатную сетку (рис. 3.6).

Как видно из диаграммы при w=7885 функция меняет знак, следо-

_{вательно, это и есть искомый ответ на поставленную задачу.}

а б

Рис. 3.5

Рис. 3.6