§3.2. Расчёт цепи постоянного тока методом Крамера

Откроем новый лист Excel. Разместим матрицу коэффициентов в массиве A1-C3, матрицу свободных членов в массиве E1-E3 (рис. 3.13). Для определения токов в цепи методом Крамера найдём определитель матрицы A. Разместим его в ячейку A5. Вызовем мастер функций и в категории «Математические» выберем функцию «МОПРЕД» (рис. 3.20).

Рис. 3.20

В меню «Аргументы функции» введём адрес массива коэффици-

ентов A1-C3 (рис. 3.21).

Рис. 3.21

Полный определитель размещён в ячейке A5 и равен 14 (рис. 3.22).

Рис. 3.22

Скопируем массив ячеек A1-C3 в G1-I3, заполним массив G1-G3 содержимым массива E1-E3. Получится первая замещённая матрица ко- эффициентов. Скопируем массив ячеек A1-C3 в J1-L3, заполним массив K1-K3 содержимым массива E1-E3. Получится вторая замещённая мат- рица коэффициентов. Скопируем массив ячеек A1-C3 в M1-O3, запол- ним массив O1-O3 содержимым массива E1-E3. Получится третья за- мещённая матрица коэффициентов (рис. 3.23).

Рис. 3.23

Найдём первый частный определитель от матрицы, размещённой в массиве ячеек G1-I3, разместим его в ячейку A7. Найдём второй част- ный определитель от матрицы, размещённой в массиве ячеек J1-L3, разместим его в ячейку B7. Найдём третий частный определитель от матрицы, размещённой в массиве ячеек M1-O3, разместим его в ячейку C7. Ток I1 получим, поделив содержимое ячейки A7 на A5. Результат разместим в ячейке A8. Ток I2 получим, поделив содержимое ячейки B7

_{на A5. Результат разместим в ячейке}

_{B8. Ток I3 получим, поделив со-}

держимое ячейки C7 на A5. Результат разместим в ячейке C8 (рис. 3.24).

Рис. 3.24

Как и следовало ожидать результаты расчётов с использованием методов Крамера и обратной матрицы совпадают.

§3.3. Расчёт цепи переменного тока, определение фазы потребляе- мого тока, активной мощности и коэффициента мощности

Пусть к источнику переменного тока подключена активно-

_{реактивная нагрузка (рис. 3.25).}

ⁱ¹(^t ) ^{L R1}

^U (^t ) ^{= Um ⋅ sin} (^{ω ⋅ t} )

C

ⁱ³(^t )

R2

ⁱ² (^t )

Рис. 3.25

Необходимо с применением программы Excel определить фазу потребляемого тока, активную мощность и коэффициент мощности на- грузки в установившемся режиме.

_{Ток через конденсатор пропорционален производной напряжения}

_{du (t )}

_{C ⋅} ^C _{= i}

_{(t ) . (3.24)}

_dt ³

Применим к выражению (3.24) прямое преобразование Лапласа и получим

C ⋅ p ⋅U_{C (} p ₎ = I_{3 (} p _{) . (3.25)}

_{Реактивное сопротивление конденсатора в операторной форме}

C

_{Z ( p ) =} ^{UC ( p )} ₌

^I₃ ^{( p )}

1

C ⋅ p

_. (3.26)

_{Реактивное сопротивление конденсатора в комплексной форме}

C

_{Z ( j ⋅ω ) =} ^{UC ( j ⋅ω )} ₌

^I₃ ^{( j ⋅ω )}

1

C ⋅ j ⋅ω

= − j ⋅

1

C ⋅ω

_, (3.27)

_{где ω = 2 ⋅ π ⋅ f}

_{– круговая частота гармонического входного напряжения,}

_{f – частота гармонического входного напряжения.}

_{В данной задаче примем частоту}

_{f = 50 Гц , что соответствует час-}

тоте промышленной электрической сети.

Проводимость конденсатора в комплексной форме

^{YC ( j ⋅ω ) = C ⋅ j ⋅ω .} _(3.28)

_{Проводимость конденсатора C и резистора} R2

^{CR 2} _R ^.

Y ₍ j ⋅ω ₎ = C ⋅ j ⋅ ω + ^{1 (3.29)}

2

_{Сопротивление конденсатора C и резистора} R2

Z_{CR 2 (} j ⋅ω ₎ =

1

_{C ⋅ j ⋅ ω +} ¹

^R₂

_. (3.30)

Полное сопротивление нагрузки

₁

Z_{Σ (} j ⋅ ω ₎ = R₁ +

j ⋅ ω ⋅ L +

_{C ⋅ j ⋅ω +} ^{1 .}

^R₂

(3.31)

Преобразуем (3.31), выделив явно действительную и мнимую час-

_ти

Z_{Σ (} j ⋅ω ₎ = R₁ +

j ⋅ ω ⋅ L +

_(3.32)

1

₊ ^R2

− C ⋅ j ⋅ω

₌

_{⎛ 1 + C ⋅ j ⋅ω ⎞ ⋅ ⎛ 1}

_{− C ⋅ j ⋅ ω ⎞}

_{⎜ ⎟ ⎜ ⎟}

_⎝ ^R₂

_{⎠ ⎝} ^R_{2 ⎠}

= R₁ +

j ⋅ω ⋅ L +

¹ _{− C ⋅ j ⋅ω}

^R2 ₌

R

2

¹ _{+ C} ² _⋅ω ²

2

_{1 ⎛ ⎞}

_{= R +} ^R₂

⎜

_{+ j ⋅ ⎜ ω ⋅ L −}

_{C ⋅ω} ^⎟

_{⎟ .}

_{1 1 1}

_{+ C 2 ⋅ω 2}

_{⎜ + C 2 ⋅ ω 2 ⎟}

R

R

_{2 ⎜ 2 ⎟}

^{2 ⎝ 2 ⎠}

Так как фаза напряжения источника принимается равной нулю, то фаза тока нагрузки определяется по комплексному сопротивлению на- грузки (3.32)

ϕ ₍ω ₎ = arctg

ω ⋅ L −

C ⋅ ω

R

2

¹ + C ² ⋅ω ²

2

¹ _.

(3.33)

R₁ +

R₂

R

2

¹ _{+ C}

2

2 _⋅ω 2

_(3.32)

Модуль комплексного

сопротивления нагрузки определим из

2

2

_{⎛ 1 ⎞ ⎛ ⎞}

_{⎜ ⎟ ⎜ ⋅ ⎟}

M

_{Z (ω ) =}

_{⎜ R +}

^R_{2 ⎟}

_{+ ⎜ ω ⋅ L −} ^{C ω} _⎟

_(3.34)

1

_{⎜ 1 + C 2 ⋅ω 2 ⎟ ⎜}

_{1 + C 2 ⋅ω 2 ⎟} ^.

_{⎜ R 2}

_{⎟ ⎜ R 2 ⎟}

⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠

Коэффициент мощности активно-реактивной нагрузки

ξ ₍ω ₎ = cosϕ ₍ω _{) .} ^(3.35)

_{Активная мощность нагрузки}

_{P (ω ) =}

_U ²

_{⋅ cosϕ (ω ) =}

( )

^U _{⋅ξ (ω ) ,} ^(3.36)

( )

2

Д Д

^{ZM ω}

^{ZM ω}

^{где U} _Д

– действующее значение напряжения источника.

Для численного решения задачи в Excel зададимся следующими параметрами:

^U _Д ^{= 220 В – введём в ячейку A1 (рис. 3.26, а);}

ω = 2 ⋅π ⋅ 50

_{рад/с – введём в ячейку B1 (рис. 3.26, б);}

L₁ = 0.05 Гн – введём в ячейку C1 (рис. 3.26, в);

R₁ = 1 Ом

1

C = 100 ⋅10⁻⁶

– введём в ячейку D1 (рис. 3.26, г);

Ф – введём в ячейку E1 (рис. 3.26, в);

R₂ = 100 Ом

– введём в ячейку F1 (рис. 3.26, е).

а) б)

в) г)

д) е)

Рис. 3.26

_{Согласно (3.29) в ячейке A3 рассчитаем проводимость конденса-}

_{тора C и резистора}

R2 _{. Для этого воспользуемся функцией КОМ-}

ПЛЕКСН из категории «Инженерные» (рис. 3.27).

Рис. 3.27

Содержимое ячейки A3 представлено (рис. 3.28).

Рис. 3.28

_{В ячейке A4 согласно (3.30) рассчитаем сопротивление конденса-}

_{тора C и резистора}

R2 _{. Воспользуемся функцией МНИМ.ДЕЛ для де-}

ления на комплексное число (рис. 3.29).

Рис. 3.29

Содержимое ячейки A4 представлено (рис. 3.30).

_{Рис. 3.30}

_{Согласно}

_(3.31)

_{рассчитаем полное сопротивление}

_{нагрузки.}

_Для

этого в ячейку A5 введём комплексное число

R₁ + j ⋅ ω ⋅ L

(рис. 3.31).

_{Рис. 3.31}

_{Затем в ячейке A6 необходимо произвести}

_{сложение двух ком-}

плексных чисел, находящихся в ячейках A4 и A5. Для этого воспользу-

емся функцией МНИМ.СУММ из категории «Инженерные» (рис. 3.32).

Рис. 3.32

Величина полного комплексного сопротивления нагрузки нахо-

дится в ячейке A6 (рис. 3.33).

Рис. 3.33

Определим в ячейке A7 угол сдвига фазы тока относительно гар-

_{монического входного напряжения, выраженный в радианах. Восполь-}

_зуемся

_{функцией МНИМ.АРГУМЕНТ из}

_{категории «Инженерные»}

(рис. 3.34).

_{Рис. 3.34}

Содержимое ячейки A7 показано на рис. 3.35.

_{Рис. 3.35}

Представим в ячейке A8 предыдущий полученный результат в градусах (рис. 3.36).

Рис. 3.36

В ячейке A9 определим коэффициент мощности (рис. 3.37).

Рис. 3.37

_{В ячейке A10 определим модуль комплексного сопротивления на-}

_{грузки.}

_Для

_этого

_{воспользуемся}

_{функцией МНИМ.ABS из категории}

«Инженерные» (рис. 3.38).

_{Рис. 3.38}

На рис. 3.39 показано содержимое ячейки A10.

Рис. 3.39

Определим активную мощность нагрузки (рис. 3.40).

Рис. 3.40

_{Полученные в данной главе результаты сведём в табл. 3.1.}

_{Таблица 3.1}

Величина	Значение	Размерность
φ	-52,2945	град
ξ	0,611603	-
P	1774,951	Вт

Процедура расчёта, приведённая в данной главе, применима ко всем линейным цепям переменного тока.