Глава 3. Расчёт линейных цепей постоянного и переменного тока

§3.1. Расчёт цепи постоянного тока методом обратной матрицы

Пусть дана электрическая цепь (рис. 3.12), состоящая из трёх вет-

_{вей. Известны величины ЭДС источников:}

E₁ = 10 В ,

E₂ = 5 В ,

E₃ = 3 В

_{и сопротивлений в каждой ветви:}

^R₁ ^{= 1 Ом ,}

^R₂ ^{= 2 Ом ,}

^R₃ ^{= 4 Ом .}

Необходимо определить токи, протекающие в каждой ветви.

R₁

I₁ I₂

^R₂

^R₃

I

3

^E₁ ^E₂ ^E₃

_{Рис. 3.12. Цепь постоянного тока}

Для трёх неизвестных токов I₁, I₂, I₃ составим систему из трёх уравнений согласно первому и второму законам Кирхгофа

_{⎧E = I ⋅ R + I ⋅ R + E}

_⎪ 1 1 1 2 2 2

^{= ⋅ + ⋅ +} (3.18)

_⎨ E₁

I₁ R₁

I₃ R₃ E₃

⎩

^{⎪ I}₁ ^{= I}₂ ^{+ I}₃

и преобразуем её следующим образом

_{⎧I1 ⋅ R1 + I2 ⋅ R2 + I3 ⋅ 0 = E1 − E2}

_{⎪ I ⋅ R + I}

_{⋅ 0 + I ⋅ R}

_{= E − E}

_{. (3.19)}

^⎨ _{1 1 2 3 3 1 3}

⎩

^{⎪ I}₁ ^{⋅1− I}₂ ^{⋅1− I}₃ ^{⋅1 = 0}

Подставим в (3.19) численные данные и получим матрицу коэф-

_{фициентов}

_⎡ R₁ R₂

0 _{⎤ ⎡}1 2 0 _⎤

_{A = ⎢ R}

_{0 R ⎥ = ⎢1 0 4 ⎥}

_(3.20)

_⎢ ^{1 3} _{⎥ ⎢ ⎥}

^⎢_⎣ ^{1 −1}

_{и матрицу свободных членов}

^−1⎥_⎦

^⎢_⎣¹

^{−1 −1⎥}_⎦

_⎡ E₁ − E_{2 ⎤}

_⎡10 − 5_{⎤ ⎡}5_⎤

_⎢ ^{1 3} _{⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥} ^.

B = ^⎢ E − E ^⎥ = ^⎢10 − 3^⎥ = ^⎢7^⎥ _(3.21)

_⎣^{⎢ 0}

_⎦^{⎥ ⎢}_⎣ ^{0 ⎥}_⎦

^⎢_⎣^0⎥_⎦

Решение системы уравнений (3.18) найдём как

_⎡ I_{1 ⎤}

⎢

X = ^⎢ I

^⎥ = A⁻¹ B _.

(3.22)

² ⎥

⎣^{⎢ I}3 ⎦^⎥

Матрицу коэффициентов (3.20) внесём в массив A1-C3, а матрицу свободных членов (3.21) внесём в массив E1-E3 (рис. 3.13).

_{Рис. 3.13}

Обратную матрицу от матрицы коэффициентов разместим в мас- сиве G1-I3. Вызовем мастер функций и в категории «Математические» выберем «МОБР» (рис. 3.14).

Рис. 3.14

В окне «Аргументы функции» введём адрес источника данных

A1:C3 (рис. 3.15).

_{Рис. 3.15}

В справке программы Excel по этой функции сказано, что форму- лу необходимо ввести как формулу массива. Нажмите клавишу F2, а за- тем нажмите клавиши <CTRL>+<SHIFT>+<ENTER>. Если формула не будет введена как формула массива, единственное значение будет равно

0,285714. В результате получим обратную матрицу (рис. 3.16).

_{Рис. 3.16}

_{Умножим обратную матрицу,}

_{размещённую в ячейках G1-I3, на}

матрицу свободных членов, размещённую в ячейках E1-E3. Для этого выделим массив ячеек результата F14-F16, вызовем с помощью мастера функций функцию «МУМНОЖ» из категории «Математические» (рис.

3.17).

рис. 3.17

В опции «Аргументы массива» введём адрес первого массива G1- I3 и адрес второго массива E1-E3 (рис. 3.18). Нажмите клавишу F2, а за- тем нажмите клавиши <CTRL>+<SHIFT>+<ENTER>.

Рис. 3.18

_{Полученный результат (рис. 3.19)}

_⎡ I_{1 ⎤}

_⎡2,428571_⎤

I

² _{⎥ ⎢ ⎥} ^,

⎢

^{⎢ ⎥} = ^⎢1,285714^⎥

(3.23)

^⎢_⎣ ^I₃ ^⎥_⎦

^⎢_⎣^1,142857⎥_⎦

размещённый в ячейках F14-F15, является истинным, так как выполня-

ется первый закон Кирхгофа – третье уравнение системы (3.18).

Рис. 3.19

Проверку полученного результата можно выполнить и по первому и второму уравнениям системы (3.18).