§I.3.9 тепловые явления в средах при механическом воздействии

Законы термодинамики являются общими для любых макроскопических систем; газов, жидкостей, твердых тел, растворов, сплавов и т.п. Эти законы, в частности, проявляются в виде тепловых эффектов (охлаждении или нагревании) при различных физических воздействиях: механических, электрических, магнитных и т.п.

Остановимся на механических воздействиях. В идеальных газах, как указывалось выше, в которых отсутствуют силы притяжения между молекулами и размерами молекул можно пренебречь, при адиабатическом расширении происходит охлаждение газа, а при сжатии – нагревание. В реальных газах, при наличии сил притяжения между молекулами и с учетом размеров молекул, наблюдается при адиабатическом расширении как положительный (охлаждение), так и отрицательный (нагревание) эффект, т.е. так называемый эффект Джоуля-Томсона.

Жидкости и твердые тела являются конденсированными средами, в которых частицы вещества плотно прилегают друг к другу. В результате их сжимаемость (и растяжимость) под воздействием механических сил в тысячи раз меньше, чем у газов. Тем не менее, деформации происходят и также сопровождаются тепловыми эффектами, в проявлении которых начинают играть дополнительные факторы. Например, в жидкостях проявляется действие сил поверхностного натяжения. Еще более сложная картина наблюдается в кристаллах, и характер теплового эффекта зависит от многих факторов: направления механического напряжения, вида деформации, особенности химической природы вещества, симметрии кристаллической структуры и др. Но есть и закономерности. Так, большинство кристаллов увеличивает все свои размеры при повышении температуры. Тогда любое растягивающее напряжение приводит к охлаждению теплоизолированного (условие адиабаты) кристалла, а сжимающее – к его нагреванию.

Известно, что для длинного тонкого стержня (или проволоки), когда действует растягивающее напряжение вдоль стержня, имеет место удлинение стержня. Удлинение стержня наблюдается также и при нагревании. И согласно законам термодинамики между этими явлениями должна быть связь. Например, если такому телу сообщается некоторое количество теплоты и оно при этом удлиняется, то эта теплота расходуется согласно первому началу термодинамики на нагревание (т.е. на увеличение внутренней энергии) и на работу упругих сил в результате удлинения.

Часть II. Примеры решения задач

Глава II.1. Молекулярно-кинетическая теория

ИДЕАЛЬНЫХ ГАЗОВ

§II.1.1 идеальные газы. Газовые законы.

Любой газ можно охарактеризовать его массой занимаемым им объемом давлением оказываемым газом на стенки сосуда, температурой при которой находится газ, а также его молярной массой . Уравнения, которые связывают между собой эти величины, называются газовыми законами.

Закон Бойля – Мариотта. При и

. (II.1)

Этот закон описывает изотермический процесс.

Закон Гей – Люссака. При и

. (II.2)

Этот закон описывает изобарический процесс.

Закон Шарля. При и

. (II.3)

Этот закон описывает изохорический процесс.

Объединенный закон газового состояния (формула Клапейрона).

При

. (II.4)

Если по условию задачи газ находится при одних каких-либо условиях, то его сравнивают с состоянием данного газа при нормальных условиях:

Па, К, м³ (объем 1 моль любого газа при нормальных условиях).

Уравнение Клапейрона – Менделеева (универсальное уравнение газового состояния)

, (II.5)

где – масса газа; - молярная масса газа;

R = 8,31 Дж/(моль·К) – постоянная для всех газов величина, называемая молярной газовой постоянной (или универсальной газовой постоянной).

Закон Дальтона. Если в сосуде находится смесь нескольких газов, не вступающих друг с другом в химические реакции, то давление смеси газов равно сумме давлений, производимых каждым газом в отдельности, если бы он один занимал весь сосуд (парциальные давления)

, (II.6)

где –парциальные давления компонент смеси.

ЗАДАЧА № II.1 На диаграмме показан замкнутый процесс 1–2–3–1. Изобразите этот процесс на и диаграммах.

Рисунок 17 – Диаграмма

Ответ: Процесс 1–2 изохорический, так как в нем давление прямо пропорционально температуре; процесс 2–3 – изотермический; процесс 3–1 – изобарический. Данный цикл на диаграмме и диаграмме будет выглядеть так:

ЗАДАЧА № II.2 При нагревании газа получена зависимость давления от температуры (рис.20). Сжимается или расширяется газ во время нагревания ?

Рисунок 20 - Диаграмма Рисунок 21 – Диаграмма

Ответ: Газ расширяется. Если провести изохоры через точки 1 и 2 (рис.21), то легко убедиться, что .

ЗАДАЧА № II.3 На рис.22 изображены две изобары. Какая из изобар соответствует большей массе газа ?

Ответ: Первая, так как при одинаковых давлении и температуре большая масса занимает больший объём.

Рисунок 22 – Две изобары

Ответ: Первая, так как при одинаковых давлении и температуре большая масса занимает больший объём.

ЗАДАЧА № II.4 Под колоколом воздушного насоса стоит банка с водой, в ней пузырек. Как изменяется объем пузырька при откачивании воздуха? Температура постоянная.

Ответ: Объем пузырька увеличивается, т.к. по закону Бойля-Мариотта

, где меньше за счет откачки воздуха при постоянном гидростатическом давлении.

ЗАДАЧА № II.5 Две колбы с воздухом при нормальном давлении и различные по объему закупоривают и нагревают в парах кипящей воды до 100⁰ С. Одинаковым ли будет в них давление воздуха после нагревания?

Ответ: Давление будет одинаковым, т.к. в обеих колбах плотности воздуха равны и не изменяются при нагревании . Из уравнения

следует, что приращение не зависит от объема колбы.

ЗАДАЧА № II.6 В газоразрядной плазме (искра, электрическая дуга), состоящей из электронов, ионов, нейтральных атомов и молекул, в разных компонентах разная температура. Почему это возможно?

Ответ: При электрическом разряде процессы протекают очень быстро (меньше времени релаксации), поэтому общая температура не успевает установиться.

ЗАДАЧА № II.7 Найти молярную массу воздуха, считая, что он состоит по массе из одной части кислорода и трех частей азота.

Дано: кг/моль;

кг/моль;

.

Найти:

Решение

Воздух, являясь смесью идеальных газов, тоже представляет идеальный газ, и к нему можно применить уравнение Клапейрона-Менделеева

. (1)

Для каждой компоненты смеси кислорода и азота запишем соответствующее уравнение:

, (2)

, (3)

где и – парциальные давления кислорода и азота.

По закону Дальтона давление воздуха Складывая (2) и (3), получим

(4)

Сравнивая (1) и (4) и учитывая, что , имеем

, откуда

. (5)

Подставляя в (5) , найдем молярную массу воздуха

,

Подставляя численные значения, получим кг/моль.

ЗАДАЧА № II.8 Как изменится давление идеального газа, если его объем и температуру уменьшить в два раза?

Решение

Уравнение Клапейрона – Менделеева приводит к следующему выражению для давления газа

.

Если объем и температуру газа уменьшить вдвое, то давление газа, как видно из уравнения, не изменится.

ЗАДАЧА № II.9 Объем пузырька воздуха по мере всплывания его со дна озера на поверхность увеличивается в три раза. Какова глубина озера?

Дано: ;

Па;

кг/м³.

Найти:

Решение

Считаем, что температура воды в озере на любой глубине постоянна. Тогда по закону Бойля – Мариотта

,

где , – давление воздуха в пузырьке у дна и поверхности озера соответственно;

, – объемы пузырьков у дна и поверхности озера.

Очевидно, что давление воздуха в пузырьке у поверхности озера равно атмосферному давлению , т.е. . Тогда , откуда .

Следовательно, увеличение давления у дна озера будет

Как известно из гидростатики,

где - плотность воды;

– глубина озера.

Приравнивая правые части двух последних уравнений, получим

откуда

; м.

ЗАДАЧА № II.10 Сосуд вместимостью 20 л, заполненный воздухом при давлении 0,4 МПа, соединяют с сосудом, из которого воздух удалён. При этом давление в обоих сосудах становится одинаковым и равным 1,0·10⁵ Па. Определить вместимость второго сосуда. Процесс изотермический.

Дано: МПа Па;

л м³;

Па.

Найти:

Решение

Изотермический процесс протекает при постоянной температуре и подчиняется закону Бойля – Мариотта, для которого справедливо уравнение (II.1), или . Но после присоединения второго сосуда газ занял объём , следовательно, , или

, откуда ; Подстановка численных данных

дает м³ . Вместимость второго сосуда л.

ЗАДАЧА № II.11 Изменение состояния идеального газа описывается приведенным графиком (рис.23). Как изменяется температура при переходе газа из состояния 1 в состояние 3?

Рисунок 23 - График зависимости давления от объёма

Решение

При переходе газа из состояния 1 в состояние 2 ( - изохорный процесс), давление газа увеличилось в 2 раза. Следовательно, температура возросла вдвое. При переходе из состояния 2 в состояние 3 ( – изобарный процесс), объем газа увеличился в 3 раза. Это возможно при возрастании температуры еще в 3 раза. Таким образом, переходу (1-3) соответствует повышение абсолютной температуры в 6 раз.

ЗАДАЧА № II.12 При какой температуре находился газ, если в результате изобарного нагревания на 1К его объём увеличился на 3,5·10^-3 от первоначального?

Дано: К;

;

.

Найти:

Решение

В результате нагревания температура газа повысилась на 1К, следовательно, . При этом объём газа увеличился от V₁ до V₂, т.е. . Так как процесс протекает при постоянном давлении р₂=р₁, то уравнение состояния преобразуется , или

. Решение этого уравнения относительно Т₁ дает

.

Подстановкой численных значений получим:

К.

ЗАДАЧА № II.13 В баллоне находится идеальный газ. Когда часть газа выпустили, температура газа в баллоне уменьшилась в 3 раза, а давление – в 4 раза. Какую часть газа (в процентах) выпустили?

Дано: ;

;

.

Найти:

Решение

Для двух описанных ситуаций уравнение состояния имеют вид

(1)

и , (2)

где – начальная масса газа, - выпущенная из баллона масса газа. Объём баллона V не изменялся. Выразим объем из (1) уравнения и подставим в (2), в результате получим . Сократив одинаковые сомножители и поделив обе части уравнения на и на , получим , откуда . Следовательно, из баллона выпустили 25% газа.

ЗАДАЧА № II.14 На рис.24 показаны две изохоры для газа одной и той же массы. Углы наклона изохор к оси абсцисс равны и . Как соотносятся эти объёмы газа?

Рисунок 24 - График двух изохор для газа одной и той же массы

Решение

Уравнения состояния позволяют записать для двух разных объёмов взаимосвязь параметров (1) и (2)

При некоторой температуре из графика (см. рис.24) определим, что , а . Тогда уравнения (1) и (2) примут вид

, (3)

. (4)

Поделив уравнение (3) на (4), получим искомое соотношение объемов

.

ЗАДАЧА № II.15 Давление воздуха внутри бутылки, закрытой пробкой равно 0,1 МПа при температуре 7 ⁰С. На сколько градусов нужно нагреть воздух в бутылке, чтобы пробка вылетела? Без нагревания пробку можно вынуть, прикладывая к ней силу 30 Н. Поперечное сечение пробки 2 см².

Дано: см² м²;

H;

C; К;

МПа Па.

Найти:

Решение

Чтобы пробка вылетела из бутылки, необходимо, чтобы давление воздуха в бутылке равнялось . При нагревании объём не изменяется. По закону Шарля , откуда , следовательно,

. Подстановка численных значений дает К.

Для того чтобы пробка вылетела из бутылки, необходимо воздух в ней нагреть на К.

ЗАДАЧА № II.16 Начертите график зависимости плотности газа от температуры при изобарическом процессе и зависимости плотности газа от давления при изотермическом процессе, .

Решение

Согласно уравнению Клапейрона – Менделеева . Плотность газа , откуда . Если , то , где .

Следовательно, зависимость имеет вид гиперболы (рис.25). Если , то , где , следовательно, плотность изменяется по линейному закону (рис.26).

Рисунок 25 - Зависимость плотности Рисунок 26 - Зависимость плотности

от температуры от давления

ЗАДАЧА № II.17 Имеется смесь из 4,4·10²¹ молекул кислорода, 0,9·10²¹ молекул углекислоты и 2,1·10 ²¹ молекул азота. Найти давление этой смеси на стенки сосуда емкостью 2 л, если сосуд нагрет до 20⁰С, и молекулярную массу смеси.

Дано: ; кг/моль;

; кг/моль;

; кг/моль;

C; K; м³.

Найти:

Решение

Из уравнения Клапейрона - Менделеева выразим давление

. (1)

Парциальные давления кислорода, углекислоты и азота равны

(2)

где и – масса и молярная масса отдельного газа. Выразим массу газа

где – число Авогадро и подставим в (2)

.

Давление смеси газов можно рассчитать по закону Дальтона (3)

, (4)

где и – масса и молярная масса смеси.

Подстановка численных значений дает

Па. кПа.

Приравняв правые части уравнений (2) и (4), получим

, откуда

. (5)

Массу газа подставим в (5) и получим

, отсюда

определим молярную массу смеси

кг/моль.