§II.1.3 статистическая физика

Число молекул, относительные скорости которых заключены в данном интервале (распределение Максвелла)

(II.10)

Относительная скорость молекул

(II.11)

Формула изменения концентрации молекул с высотой

(II.12)

Барометрическая формула

(II.13)

где и – давление, и – концентрация газа на высоте и ;

- молярная масса газа; – ускорение свободного падения.

Средняя квадратичная скорость молекул

. (II.14)

Средняя арифметическая скорость молекул

. (II.15)

Наиболее вероятная скорость

, (II.16)

где – масса одной молекулы.

ЗАДАЧА № II.33 В законе распределения Максвелла для газовых молекул по скоростям кривая распределения асимптотически приближается к оси скоростей. Означает ли это, что молекулы газа, пусть с малой вероятностью, но могут иметь сколь угодно большие скорости?

Ответ: Скорость молекул ограничена определенным значением энергии теплового движения газа при данной температуре.

ЗАДАЧА № II.34 Возможны ли в газе с температурой К неподвижные молекулы?

Ответ: Их вероятность исчезающее мала, т.к. кривая распределения Максвелла проходит через начало координат.

ЗАДАЧА № II. 35 Какой вид приобретет барометрическая формула на большой высоте?

Ответ: С высотой ускорение свободного падения уменьшается, поэтому необходимо использовать потенциальную энергию гравитационного поля

, и барометрическая формула примет вид , где – масса Земли, – масса молекулы газа.

ЗАДАЧА № II.36 Как можно трактовать нормировку функции распределения Максвелла, а именно

Ответ: Как достоверное событие, имеющее вероятность равную единице.

ЗАДАЧА №II.37 Почему отличаются по своему значению средняя квадратичная, средняя арифметическая и наиболее вероятная скорости газовых молекул?

Ответ: Это вызвано асимметричностью кривой распределения Максвелла.

ЗАДАЧА№ II.38 Почему с повышением температуры газа вместе с расширением кривой распределения понижается ее максимум?

Ответ: Это следует из условия нормировки, а следовательно из постоянства площади под кривой.

ЗАДАЧА № II.39 Влияют ли на максвелловское распределение молекул по скоростям параметры состояния газа?

Ответ: Влияет только температура.

ЗАДАЧА № II.40 Если число молекул в сосуде увеличили, не изменив температуры, то как изменится число молекул, обладающих наиболее вероятной скоростью в максвелловском распределении молекул по скоростям?

Ответ: Число молекул, обладающих наиболее вероятными скоростями, увеличится.

ЗАДАЧА № II.41 В трех одинаковых сосудах при равных условиях находится одинаковое количество азота (N₂), гелия (He), и водорода (H₂). На рис. 27 дано распределение скоростей этих молекул. Каким кривым распределения соответствуют молекулы водорода и азота?

Рисунок 27- Распределение скоростей Рисунок 28- Кривые 1 и 2

молекул

Ответ: Водороду – 3, азоту – 1. Наиболее вероятная скорость , она зависит от молярной массы газа и будет наименьшей для азота, ( г/моль) и наибольшей у водорода ( г/моль).

ЗАДАЧА № II.42 В сосуде, разделенном на равные части неподвижной непроницаемой перегородкой, находится газ. Температуры газа в каждой части сосуда равны, масса газа в левой части больше, чем в правой . Какими кривыми (рис.28) будут описываться функции распределения молекул по скоростям для молекул газа в правой и левой частях сосуда?

Ответ: Газ в обеих частях сосуда одинаковый, температуры равны, следовательно наиболее вероятные скорости молекул тоже равны . Массы разные . В большей массе будет большее число молекул, следовательно, будет больше площадь под кривой функции распределения

. Кривая 1 – для левой части, кривая 2 – для правой части.

ЗАДАЧА № II.43 Определить долю молекул водорода, модули скоростей которых при температуре 27° С лежат в интервале от 1898 м/с до 1902 м/с.

Дано: кг/моль;

К;

м/с;

м/с.

Найти:

Решение

В данной задаче удобнее воспользоваться распределением молекул по относительным скоростям. Доля молекул , относительные скорости которых заключены в интервале от до , определяется формулой

, (1)

где – наиболее вероятная скорость; .

С учетом этих выражений формула (1) примет вид

.

Для удобства сначала вычислим

(м/с),

и отношение скоростей .

Подставим численные значения в (1) и найдем долю молекул водорода, модули скоростей которых лежат в интервале от до

.

ЗАДАЧА № II.44 Броуновские частицы с массой 4 фг ведут себя в тепловом движении подобно гигантским молекулам, и к ним можно применить закономерности молекулярно-кинетической теории. Исходя из этого, определить, во сколько раз уменьшится концентрация броуновских частиц при увеличении высоты на 1 мм. Температуру принять равной 300 К.

Дано: фг г кг;

мм м;

К.

Найти:

Решение

Для броуновских частиц воспользуемся распределением молекул по

высоте (распределение Больцмана)

,

где и – концентрация молекул на высоте и на высоте , соответственно. Выразим

Прологарифмируем и подставим численные значения,

.

Итак, то есть концентрация частиц уменьшится в раз.

ЗАДАЧА № II.45 На какой высоте над уровнем моря атмосферное давление составляет 78 кПа, если температура воздуха 17⁰С и не меняется с высотой, а давление на уровне моря нормальное? Найти число частиц в единице объема на этой высоте.

Дано: C К;

Па;

Па;

кг/моль.

Найти:

Решение

Если температура не меняется с высотой, то для нахождения давления можно воспользоваться барометрической формулой (II.13)

логарифмируя эту формулу, получаем

Отсюда находим

м; м^-3.

ЗАДАЧА № II.46 Найти число молекул водорода, заключенных в 1см³ при нормальных условиях, а также число молекул значения скоростей которых лежат в интервале между 399 и 401 м/с.

Дано: см³ м³;

Па;

К;

м/с;

м/с;

кг/моль;

Найти:

Решение

Число молекул можно найти из распределения Максвелла, заданного в виде уравнения (II.10)

Для всех газов при нормальных условиях число молекул в 1 см³ одно и то же и равно см^-3 (число Лошмидта).

Вычислим значения величин, входящих в распределение Максвелла

, м/с;

м/с; м/с;

ЗАДАЧА № II.47 Температура окиси азота (NO) 300 К. Определить долю молекул, скорость которых лежит в интервале от 820 м/с до 830 м/с.

Дано: К;

м/с;

м/с;

кг/моль.

Найти:

Решение

Рассматриваемый газ находится в равновесном состоянии. Согласно распределению Максвелла, относительное число молекул, скорость которых заключена в интервале от до , ,

где – функция распределения Максвелла, которую можно представить в виде: где м/с.

Тогда

с/м.

Аналогично подсчитаем с/м.

В условии задачи требуется определить долю молекул, скорости которых лежат в диапазоне м/с.

Если в этом пределе функцию Максвелла можно с достаточной степенью точности считать постоянной, то искомая величина может быть рассчитана по приближённой формуле

т.е. Это значит, что при использовании этой формулы допускается ошибка, относительная величина которой

.

Следовательно, с указанной степенью точности можно использовать равенство , или .