Глава II. 2. Основы термодинамики
§II.2.1 первый закон термодинамики
Первое начало термодинамики имеет вид
, (II.27)
где – количество теплоты, подводимое к системе;
– приращение внутренней энергии системы;
– работа, совершаемая системой против
внешних сил.
Изменение внутренней энергии идеального газа
, (II.28)
где – молярная теплоемкость газа при постоянном объеме.
Связь между молярной и удельной теплоемкостями
, (II.29)
где - молярная масса.
Теплоемкость газа при постоянном объеме
, (II.30)
где – число степеней свободы движения молекулы.
Теплоемкость газа при постоянном давлении (уравнение Майера)
. (II.31)
Работа при изотермическом процессе
. (II.32)
Работа при изобарическом процессе
. (II.33)
Работа при адиабатическом процессе
, (II.34)
где 
− показатель адиабаты.
Уравнения Пуассона
; 
; 
. (II.35)
ЗАДАЧА № II.60 Можно ли говорить о количестве тепла, содержащемся в теле?
Ответ: нельзя, так как количество тепла не является функцией состояния системы, а характеризует процесс теплопередачи и зависит от способа теплопередачи.
ЗАДАЧА № II.61 Почему наличие большого водоема смягчает климат?
Ответ: Водоем обладает большой теплоемкостью. При похолодании, когда температура воздуха меньше температуры воды, вода отдает большее количества тепла. При потеплении, когда температура воздуха выше температуры воды, вода поглощает много тепла. Этим объясняется сглаживание температурных контрастов.
ЗАДАЧА № II.62 Почему при холостых выстрелах ствол пушки нагревается сильнее, чем при стрельбе снарядами?
Ответ: Энергия, выделяемая при сгорании пороха, в случае холостого выстрела вся идет на нагревание ствола, а при стрельбе снарядами часть энергии идет на придание кинетической энергии снаряду и отдачи.
ЗАДАЧА № II.63 После сильного шторма вода в море становится теплее. Почему?
Ответ: Нагревание воды происходит за счет превращения механической энергии волн при трении одних слоев о другие в тепло.
ЗАДАЧА № II.64 Нагретый сжатый идеальный газ с силой вырывается через два одинаковых сопла наружу. Одна из струй попадает на лопасти турбины, приводя ее во вращение. В какой струе газ охлаждается сильнее? Почему?
Ответ: В струе, падающей на лопасти турбины, т.к. часть тепла расходуется на работу турбины.
ЗАДАЧА № II.65 Идеальный газ совершает цикл, состоящий из двух изотерм и двух изохор (рис.30). Как ведут себя на каждом участке:
Рисунок 30- Заданный цикл |
а) внутренняя энергия; б) работа газа; в) количество теплоты?
Ответ:
Для осуществления цикла 1-2-3-4-1 необходим
контакт с нагревателем на участках
1-2 и 4-1 и контакт с холодильником на
участках 2-3 и 3-4. При анализе поведения
внутренней энергии U,
работы газа А,
количества теплоты Q
на каждом
участке используем первое начало
термодинамики
|
выражение
внутренней энергии идеального газа
,
работу газа
,
условия
. 
В результате получим:
(1–2)
– изотермическое расширение при
температуре
,
,
(газ
совершает работу путем расширения),
(газ получает
тепло от нагревателя);
(2–3)
– изохорический процесс с понижением
температуры от T1
до T2
,
(внутренняя энергия убывает),
,
так как
(газ отдает тепло охладителю);
(3–4)
– изотермическое сжатие при температуре
(работа совершается внешними силами
над газом),
(газ отдает тепло охладителю);
(4–1)
– изохорический процесс с повышением
температуры от
до
(внутренняя энергия растет)
(газ получает тепло).
ЗАДАЧА
№ II.66
Идеальный
газ
расширяется
от
объема
до объема
а)адиабатически; б)изобарически; в)изотермически. При каком процессе произведена наименьшая работа?
Рисунок 31 – Графики процессов
Ответ: При адиабатическом процессе (рис.31).
Работа
равна
и численно может быть найдена по площади
криволинейной трапеции, ограниченной
графиком процесса, ординатами начального
и конечного состояний и абсциссой.
ЗАДАЧА № II.67 Как меняется температура идеального газа (увеличивается или уменьшается) в процессе, график которого в координатах дан на рис. 32.
Рисунок 32 – Заданный процесс Рисунок 33 – Серия изотерм
Ответ:
Для установления изменения температуры
проведём серию изотерм (рис.33). Из рисунка
видно, что на участке (
) 
- газ нагревается; на участке (
) 
- газ охлаждается.
ЗАДАЧА № II.68
Увеличится или уменьшится внутренняя
энергия идеального газа, если определенное
количество газа перевели из состояния
в состояние
Начальное состояние идеального газа
определяется значениями параметров:
.
Конечное состояние идеального газа
определяют параметры:
.
Ответ:
Для двух состояний
,
отсюда,
следовательно,
увеличится и
также возрастет.
ЗАДАЧА № II.69 Два различных газа, из которых один одноатомный, а другой двухатомный, находятся при одинаковых температурах и занимают одинаковые объемы. Газы сжимаются адиабатически так, что их объемы уменьшаются в два раза. Какой из газов нагревается больше?
Ответ: Одноатомный газ нагревается больше. Для сравнения найдем значения показателя Пуассона для одноатомного газа
,
для двухатомного газа
.
Используя уравнение адиабаты
,
получим
и
,
откуда получим
и
.
Следовательно,
так как
,
одноатомный газ нагревается больше.
ЗАДАЧА
№ II.70
Найти
показатель адиабаты
для смеси
1 кг водорода и 2 кг гелия.
Дано:
кг;
кг;
кг/моль;
кг/моль.
Найти:
Решение
Найдем
показатель адиабаты как отношение
где
– удельная
теплоемкость смеси газов при 
– удельная
теплоемкость смеси газов при 
Для нахождения и применим формулу для расчета количества теплоты при нагревании смеси
при
;
при
Из определения удельной теплоемкости следует
откуда получаем
найдем
значения удельных теплоемкостей,
учитывая, что число степеней свободы
(газ одноатомный),
(газ двухатомный), то есть
,
.
Подстановка дает
ЗАДАЧА № II.71 6,5 г водорода, находящегося при температуре 27° С, расширяется вдвое при за счет притока тепла извне. Найти: 1) работу расширения; 2)изменение внутренней энергии; 3) количество теплоты, сообщенное газу.
Дано:
кг;
К;
кг/моль;
Найти:
Решение
Приступая к решению задачи, прежде всего надо выявить характер процесса, протекающего в газе, и использовать соответствующие формулы табл.А1. (Приложение) Применение первого начала термодинамики к изопроцессам в идеальных газах
1.Вычислим значения молярных теплоемкостей водорода, учитывая, что молекулы водорода двухатомные и число степеней свободы
Дж/(моль·
К),
Дж/(моль∙К)
2.
Используя условие задачи и уравнение
для изобарического процесса
найдем температуру газа после расширения
.
3. Вычислим изменение внутренней энергии и количество теплоты
Дж,
Дж.
4. На основании первого начала термодинамики найдем работу расширения газа
(Дж).
ЗАДАЧА № II.72 Двухатомный идеальный газ, занимающий при давлении 3×105 Па объем 4 л, расширяется до объема 6 л, при этом давление падает до значения 105 Па. Процесс происходит сначала по адиабате (1−x), затем по изохоре (x−2), рис. 34. Определить работу сил давления газа, изменение его внутренней энергии и количество поглощенной теплоты при этом переходе.
Дано:
Па;
л
м3 ;
Па
л
м3 .
Найти:
Рисунок 34 - График процессов 1−х−2
Решение
1. Газ участвует в двух процессах: а) адиабатное расширение из состояния 1 в некоторое состояние x, в котором объем
,
(1)
давление
не известно; б) изохорный процесс из
состояния
x
в состояние 2. Найдем
из
уравнения адиабаты для двух состояний
Рис.1
.
Для
двухатомного газа
следовательно
. (3)
Значение рх получим на основании (1), (2) и (3), а именно
Па.
Откуда
видим, что
,
и процесс 1−2
можно представить графически (рис.
34).
Учтем,
что
не зависит от вида процесса, а зависит
только от начального и конечного
состояний газа. Следовательно,
.
Из уравнения Клапейрона − Менделеева для состояний 1 и 2 имеем
и 
,
откуда получим
(Дж),
а это значит, что газ охлаждается.
2.
Работу
найдем
как сумму работ:
,
где для изохоры
(х-2)
для адиабаты
,
так как
то 
Дж.
3.
Количество теплоты
определяется как сумма теплот:
,
где (табл.1 А) для адиабаты
для изохоры
,
так как
то
Дж , т.е. газ отдает тепло.
ЗАДАЧА № II.73 При изобарическом расширении некоторой массы двухатомного газа, находящегося под давлением 105Па, его внутренняя энергия изменилась на 490 Дж. Найти приращение объема газа.
Дано: Па;
Дж;
Найти:
Решение
Чтобы
определить приращение объема
при изобарическом расширении, нужно
знать работу, произведенную газом при
этом процессе:
.
Работу
можно вычислить и на основании первого
начала термодинамики: 
,
откуда следует, что 
.
Количество
тепла Q,
сообщенное при изобарическом расширении
произвольной массе газа, равно 
.
Изменение
внутренней энергии U,
которое произойдет при этом:
.
Разделив
,
получим 
, 
.
Подставим это значение в уравнение для работы:
,
или 
.
Найдем из последнего уравнения
; 
м3.
ЗАДАЧА № II.74 Воздух в комнате объёмом 90 м3 нагревается на 10 К. Какой объём горячей воды должен пройти через радиаторы водяного отопления? Вода охлаждается на 20 К. Потери тепла составляют 50%.
Дано: 
м3;
К;
К;
;
Дж/(кг∙К);
Дж/(кг∙К);
кг/м3; 
кг/м3.
Найти:
Решение
Количество
теплоты, получаемое воздухом 
.
Количество теплоты,
отдаваемое водой 
.
Учитывая потери энергии, запишем
,
или 
.
Отсюда
м3.
ЗАДАЧА № II.75 Идеальный газ расширяется изотермически от объёма 0,100 м3 до объёма 0,300 м3. Конечное давление газа 2,00·10 5 Па. Определить: а) приращение внутренней энергии газа , б) совершённую газом работу; в) количество полученной газом теплоты.
Дано: 
м3;
м3;
Па.
Найти:
−
? А − ? Q − ?
Решение
Внутренняя
энергия идеального газа пропорциональна
термодинамической температуре.
Температура газа не изменяется, поэтому
.
Работа,
совершаемая идеальным газом при
изотермическом процессе, определяется
формулой:
.
Согласно уравнению состояния множитель
перед логарифмом равен произведению
давления на объём. Поэтому можно написать,
что
кДж.
В
соответствии с первым началом
термодинамики 
.
Следовательно, 
кДж.
ЗАДАЧА № II.76 Азот, занимающий при давлении 10 5 Па объём 10 л, расширяется вдвое. Найти конечное давление и работу, совершённую газом при следующих процессах: а) изобарном; б) изотермическом; в) адиабатном (рис. 35).
Дано:
л
м3;
л
м3;
Па.
Найти:
Рисунок
35 - Графики различных изопроцессов в
зависимости р
от V
Решение:
Из графиков указанных процессов (рис.35) видно, что наибольшая работа при рассматриваемых условиях соответствует изобарному расширению.
Работа при изобарном процессе
Дж.
При
изотермическом процессе конечное
давление:
Па.
Работа
газа: 
Дж.
При
адиабатном процессе конечное давление 
.
Азот – двухатомный
газ, поэтому 
,
тогда 
Па.
Работа, совершаемая газом при адиабатном расширении, равна убыли внутренней энергии
.
Из
уравнения Клапейрона – Менделеева,
написанного для начального и конечного
состояний, получаем 
,
.
Подставляя эти выражения в формулу для работы, находим:
Дж.