§II.2.2 второй закон термодинамики

Коэффициент полезного действия тепловой машины

, (II.36)

где Q₁ – количество теплоты, полученное рабочим телом от нагревателя;

Q₂ – количество теплоты, переданной рабочим телом холодильнику;

А – работа, совершенная машиной.

Коэффициент полезного действия цикла Карно

, (II.37)

где – температура нагревателя;

– температура холодильника.

Изменение энтропии при переходе системы из состояния 1 в состояние 2

. (II.38)

Изменение энтропии при нагревании массы вещества с удельной теплоемкостью

. (II.39)

Изменение энтропии при изменении агрегатного состояния вещества

; , (II.40)

где – масса вещества;

− удельная теплота плавления;

– удельная теплота парообразования.

Изменение энтропии в идеальном газе

, (II.41)

где – масса вещества;

– удельная теплоемкость при постоянном давлении;

– удельная теплоемкость при постоянном объеме.

ЗАДАЧА № II.77 Если включенный в электросеть холодильник раскрыть вместе с морозильной камерой, то он охладит помещение, в котором находится, или нагреет?

Ответ: Нагреет, т.к. за счет электроэнергии, забираемое в камере для охлаждения тепло меньше выбрасываемого наружу (Согласно закону сохранения энергии).

ЗАДАЧА № II.78 Теплый воздух поднимается кверху. Почему в тропосфере внизу теплее, чем вверху?

Ответ: Теплый воздух, поднимаясь вверх, расширяется, т.к. попадает в более разряженные слои атмосферы. Совершая работу расширения за счет внутренней энергии, он охлаждается.

ЗАДАЧА № II.79 Почему смешать газы легко, а разделить трудно?

Ответ: При смешении газов из упорядоченного состояния, когда газы до смешения были разделены, возникает неупорядоченное состояние, т.е. при этом растет энтропия, становясь максимальной при полном перемешивании. По закону возрастания энтропии обратный процесс уменьшения почти невозможен без совершения работы.

ЗАДАЧА № II.80 Как изменится энтропия при плавлении твердого тела?

Ответ: При плавлении твердого тела, его внутренняя энергия увеличивается, следовательно, происходит увеличение энтропии.

ЗАДАЧА № II.81 Вследствие малой теплоемкости песка в пустынях днем бывает очень жарко, а ночью температура иногда опускается ниже 0⁰ С. Как изменится энтропия системы «пустыня – окружающий воздух» за 24 часа, если температура днем 50⁰ С, а ночью + 2⁰ С.

Ответ: Можно принять, что изменение энтропии равно 0, так как в течение суток тепловое изменение системы совершается по замкнутому циклу.

ЗАДАЧА № II.82 Можно ли отнести огнестрельное оружие к двигателям и к какому типу?

Ответ: Да, к двигателям внутреннего сгорания.

ЗАДАЧА № II.83 Обращали ли вы внимание на облачко тумана, которое появляется у горлышка бутылки с охлажденным лимонадом или шампанским сразу, как только ее открывают? Чем это объясняется?

Ответ: Когда открывают бутылку, сжатый газ в ней быстро адиабатически расширяется, совершая при этом работу против сил атмосферного давления. В результате внутренняя энергия газа и, следовательно, его температура понижаются, и поэтому содержащийся в газе водяной пар частично конденсируется в виде тумана.

ЗАДАЧА № II.84 На рисунке 36 изображен цикл Карно в координатах

, где - термодинамическая температура, - энтропия. Укажите: а) на каком этапе происходит изотермическое расширение; б) на каком этапе происходит адиабатическое сжатие.

Рисунок 36 - Цикл Карно.

Ответ: а) Изотермическое расширение происходит на этапе .

б) Адиабатическое сжатие происходит на этапе увеличивается,

ЗАДАЧА № II.85 Термодинамика учит, что энтропия – мера беспорядка в системе – при необратимых процессах всегда увеличивается. А как же тогда рассматривать рождение и жизнь? Не служит ли появление на Земле человека и его развитие нарушением этого закона, поскольку в ходе этого процесса упорядоченность системы увеличивается? Не опровергается ли второе начало всей эволюцией жизни на Земле?

Ответ: Нет. Биологическая система (человек) не является изолированной и не находится в термодинамическом равновесии, поскольку для своего существования должна постоянно получать энергию извне. Поток энергии через конкретную систему может упорядочить ее, т.е. уменьшить ее энтропию, однако полная энтропия Вселенной возрастает.

ЗАДАЧА № II.86 Чтобы уберечь растения в теплице от заморозков, полезно ставить большую емкость с водой. Почему?

Ответ: При приближении температуры воздуха в теплице к точке замерзания воды, емкость служит резервуаром тепла. Когда в нем начинает образовываться лед, высвобождается большое количество тепла (скрытая теплота кристаллизации), благодаря чему дальнейшее охлаждение теплицы задерживается.

ЗАДАЧА № II.87 Газ, совершающий цикл Карно, теплоты , полученной от нагревателя, отдает охладителю. Температура охладителя . Определить температуру нагревателя.

Дано: К;

Найти:

Решение

Коэффициент полезного действия любой тепловой машины равен

,

где – тепло, полученное от нагревателя, – тепло, переданное охладителю.

Для идеальной тепловой машины, работающей по циклу Карно, этот коэффициент может быть выражен через температуру нагревателя и охладителя : . Приравнивая оба выражения, получим или ,

откуда следует

или К.

ЗАДАЧА № II.88 Тепловой двигатель работает на идеальном газе по циклу,

изображенном на рис.37, где (1-2) - изобара, (2-3) - адиабата, (3-1) - изотерма. При этом К и К. Определить коэффициент полезного действия (КПД) данного теплового двигателя и двигателя, работающего по циклу Карно между максимальной и минимальной температурой данного цикла.

Дано: К;

К

Найти:

Рисунок 37 - Цикл работы теплового двигателя

Решение

Коэффициент полезного действия цикла равен

, (1)

где – тепло, полученное от нагревателя в процессе расширения,

– тепло, отдаваемое охладителю в процессе сжатия. Из графика видим

, ( )

, (2)

,

где - адиабата; - изобара; - изотерма.

Отношение выразим через температуру и , используя уравнение изобары , (3)

и адиабаты . Учитывая, что (изотерма) и извлекая из последнего соотношения корень степени получаем

(4)

Перемножая (3) и (4), имеем , тогда . . Учитывая, что , получим и

(5)

Подставим (2) и (5) в (1), получим

ЗАДАЧА № II.89 Кислород массой 0,2 кг нагревают от температуры 27 ⁰С до 127 ⁰С. Найти изменение энтропии, если известно, что начальное и конечное давление газа одинаковы.

Дано: кг;

⁰C K;

⁰C K;

кг/моль;

Найти:

Решение

Энтропия является функцией состояния термодинамической системы, изменение которой в случае обратимого процесса равно приведенной теплоте процесса, т.е. или в интегральной форме

.

В нашем случае совершается обратимый изобарический процесс, для которого количество тепла при нагревании может быть найдено по формуле

.

Подставляя в подинтегральное выражение, имеем

Используя формулу теплоемкости где , получим

Дж/К

ЗАДАЧА № II.90 В некотором объеме, разделенном на две половинки, находятся 4 различные частицы. Используя формулу Больцмана, найти энтропию системы в трех случаях: а) все частицы соберутся в одной половине; б) в одной половине находятся 3 частицы, в другой - одна; в) в обеих частях объема находятся по две частицы. Сравнить значения энтропии в случае равномерного распределения частиц (в) и в случае неравномерного распределения частиц по объему (а, б).

Решение

Энтропия системы вычисляется по формуле Больцмана

где Дж/К – постоянная Больцмана; – термодинамическая вероятность системы, то есть число микросостояний, соответствующих данному макроскопическому состоянию.

В данной задаче число микросостояний определяется числом способов размещения молекул в объеме, считая это размещение неупорядоченным. Реализацию состояний представим в виде таблицы.

Cостояние		Способы реализации состояния		Число способов реализации данного состояния W	Энтропия состояния S (Дж/К)
Число частиц Слева	число частиц справа	№ частиц слева	№ частиц справа
0	4	–	1,2,3,4	1
1	3	1 2 3 4	2,3,4 1,3,4 1,2,4 1,2,3	4
2	2	1,2, 1,3, 1,4, 2,3, 2,4, 3,4,	3,4 2,4, 2,3 1,4 1,3 1,2	6
3	1	1,2,3 1,2,4 1,3,4 2,3,4	4 3 2 1	4
4	0	1,2,3,4	–	1

Заметим, что . Это иллюстрирует закон возрастания энтропии при переходе от неравномерного распределения частиц по объему (неравновесное состояние) к равномерному распределению (равновесному состоянию).

ЗАДАЧА № II.91 Идеальная холодильная машина работает в интервале температур от 15 до –10⁰С. Работа за один цикл равна 2·10⁴ Дж. Вычислить количество теплоты, отданной теплоприемнику за один цикл, и холодильный коэффициент.

Дано: ⁰С К;

⁰С К;

Дж.

Найти:

Решение

Идеальная холодильная машина работает по обратному циклу Карно. Расширение происходит при более низкой температуре чем сжатие Так как к.п.д. обратного и прямого циклов Карно одинаков при работе с идеальным газом, то найдем его, используя формулу (II.37).

Так как при работе с идеальным газом, к.п.д. обратного и прямого циклов Карно одинаков, найдем его, используя формулу (II.37):

;

; Дж.

; Дж.

Таким образом, холодильная машина за каждый цикл будет передавать более горячему телу 2,3·10⁵ Дж, из которых 2,0·10⁴ Дж берется за счет превращения работы в теплоту, а остальные 2,1·10⁵ Дж переносятся от холодного тела.

Холодильным коэффициентом называют отношение количества теплоты , отнятого за период от охлаждаемого тела, к работе машины за тот же промежуток времени

;

ЗАДАЧА № II.92 Найти работу тепловой машины за один цикл, изображенный на рис. 38.

Дано:

Найти:

Рисунок 38 - Работа тепловой машины за один цикл

Решение

Работа расширения газа графически изображается площадью фигуры, ограниченной графиком осью абсцисс и ординатами начальной и конечной точек графика. На участке (1-2) и (3-4) работа равна нулю, так как на этих участках объем газа не изменяется. Работа машины за один цикл графически равна разности площадей прямоугольников и , т.е. площади прямоугольника (1234). Из рисунка 38 находим эту площадь:

ЗАДАЧА № II.93 Паровая машина мощности 14,7 кВт потребляет за 1ч работы 8,1 кг угля с удельной теплотой сгорания 3,3·10⁷ Дж/кг. Температура котла 200 ⁰С, холодильника 58 ⁰С. Найдите кпд этой машины и сравните его с кпд идеальной тепловой машины.

Дано : кг;

Вт;

Дж/кг;

⁰ C; К;

⁰ C; К;

ч с.

Найти:

Решение

Кпд тепловой машины равен отношению производимой механической работы к затраченному количеству теплоты выделяющемуся при сгорании угля: . Произведённая за это же время работа равна: . Таким образом,

, или .

, .

Итак, коэффициент полезного действия идеальной тепловой машины, больше кпд реальной машины.

ЗАДАЧА № II.94 В ходе обратимого изотермического процесса, протекающего при температуре 350 К, тело совершило работу 80 Дж, а внутренняя энергия тела получила приращение 7,5 Дж. Найти приращение энтропии тела.

Дано: К;

Дж;

Дж

Найти:

Решение

Из первого начала термодинамики вытекает, что в ходе процесса тело получило количество теплоты: . С учётом того, что температура постоянна,

Дж/К

ЗАДАЧА № II.95 Найти приращение энтропии моля одноатомного идеального газа при обратимом изобарическом нагревании его от 0 до 273 ⁰С.

Дано: К;

К.

Найти:

Решение

Приняв во внимание, что в данном случае , получим для приращения энтропии выражение

Дж/(моль∙К)

ЗАДАЧА № II.96 15г кислорода находятся в сосуде объемом 3 л, в сосудах объемом 2л и 1л находятся соответственно 10г азота и 5г водорода. Температура газов одинакова. Сосуды соединяют, после чего газы перемешиваются. Найти изменение энтропии.

Дано: л м³;

л м³;

л м³;

г кг;

г кг;

г кг.

Найти:

Решение

При перемешивании газов происходит их изотермическое расширение. При этом изменение энтропии каждого из газов может быть выражено следующим образом

Количество теплоты, поглощенное при изотермическом расширении, равно совершенной над газом работе

.

Но тогда .

Изменение энтропии системы равно сумме изменений энтропии компонентов

После вычислений получим следующие результаты

Дж/К; Дж/К; Дж/К; Дж/К.

Энтропия возросла, следовательно, процесс перемешивания происходит самопроизвольно.

ЗАДАЧА № II.97 Теплоизолированный сосуд, разделённый на две части (2л и 3л), наполнен идеальным газом. В первой части газ находится под давлением 10⁵ Па при температуре 27⁰С; во второй части под давлением 5·10⁵Па и той же температуре. Найти изменение энтропии всей системы после удаления перегородки и установления равновесного состояния.

Дано: л м³;

л м³;

Па;

Па;

К;

Найти:

Решение

Искомое изменение энтропии системы равно сумме изменений энтропии системы каждой части в отдельности при описанном изотермическом перемещении поршня

. (1)

(это равенство следует из того, что при ). Из уравнения (1), следует

.

Выражая в интегралах текущий объём из уравнений изотермических процессов, записанных для начального и текущего состояний, получим

). (2)

Давление может быть найдено из уравнений изотермических процессов для каждой части газа

, , (3)

где и - объём каждой части газа после выравнивания давлений, причём . Тогда при почленном сложении уравнений (3) получим

, откуда

. (4)

Подставим (4) в (2) и определим

Дж/К