50. Таблица производных
51. Геометрический смысл производной
Пусть
дуга плоской кривой, точка 
секущая.
Рис. 35
Точка
(по кривой), тогда секущая поворачивается
вокруг точки 
и стремится занять предельное положение
.
Определение:
Касательной к кривой 
в точке
называется прямая, которая представляет
собой предельное положение секущей 
(если оно существует) при стремлении по
кривой точкм М
к
.
Не всякая плоская кривая имеет касательную в каждой точке.
Рис. 36
Не
существует предельного положения
секущей в точках 
.
Так как, если бы оно существовало, то не
зависело бы от того, слева или справа
точка
стремится в точке
.
Рис. 37
Уравнение секущей, проходящей через точки и :
,
при
.
Если
функция
дифференцируема в точке
,
то предельное положение секущей
при
существует, и уравнение касательной к
графику функции
в точке 
имеет вид:
,
где
- тангенс угла между положительным
направлением оси 
и касательной к графику функции
в точке
.
52. Дифференциал функции
Если
функция дифференцируема в точке
,
то ее приращение можно представить в
виде 
.
Определение:
Линейная функция 
аргумента
называется дифференциалом функции
в точке
Обозначение:
или 
.
Итак, 
.
Если
взять
,
то
.
Поэтому дифференциал функции можно
записать в виде
.
Соответственно
производную можно представить как
отношение дифференциалов
.
Геометрический
смысл дифференциала: 
линейная (относительно
)
часть приращения функции, или приращение
ординаты касательной.
Рис. 38
53. Линеаризация функции
Приращение
дифференцируемой в точке
функции
представимо в виде 
.
Отсюда получается
асимптотическая
формула линеаризации (АФЛ).
«приближенная» формула линеаризации
(ПФЛ).
Суть линеаризации в том, что в мы заменяем линейной функцией. Это действие означает – линеаризовать.
Геометрический смысл линеаризации: кривая линия графика заменяется прямой, являющейся касательной к графику в точке .
Рис. 39
Пример:
Найти приближенное решение уравнения
.
Отбросив слагаемое с «малым» коэффициентом,
получим 
.
Линеаризуем
левую часть уравнения 
в точке 
.
Используя
ПФЛ, получим «приближенное» уравнение
,
его решение – 
.
54. Вычисление пределов с помощью линеаризации
т.е. обе функции
и
равны 
в точке
.
Пусть и дифференцируемы в точке .
По
АФЛ: 
.
Пример:
линейная функция.
,
,
.
Воспользуемся ПФЛ:
.
Подставим это в искомый предел, получим:
.
55.
Производная функции 
Пусть
и 
имеют производные в точке
.
Найдем производную функции 
.
Прологарифмируем последнее равенство.
Получим 
Продифференцировав обе части равенства,
найдем 
,
отсюда 
,
или 
.
2-ой
способ: 
,
.
Пример:
.
,
,
,
.
56. Определение локального экстремума
Определение: Функция , заданная в , имеет в точке :
а)
локальный max,
если 
(строгий локальный max,
если 
,
);
б)
локальный min,
(строгий локальный min,
если 
,
).
Определение: Локальный max или min называется локальным экстремумом.
Если
функция имеет в точке
локальный max,
то 
,
если локальный min,
то 
.
57. Необходимое условие локального экстремума
Теорема
Ферма:
Если функция имеет в точке 
локальный экстремум и существует
,
то 
.
Пусть
определена в
и в точке
имеет локальный экстремум. Для
определенности возьмем max.
Тогда 
.
Возьмем
из
такое, что 
.
Тогда 
,
при 
получим 
.
Для
имеем: 
.
Так
как по условию теоремы
,
то правый и левый пределы должны
совпадать, а это возможно лишь в случае,
если
.
•
Геометрически смысл теоремы Ферма: если в точке функция имеет экстремум, то в этой точке касательная параллельна оси .
Рис. 40
Примечание: Сформулированная теорема является лишь необходимым условием. Обратное утверждение не верно. Если , то может не иметь в точке экстремума.
Пример:
,
но в точке 
экстремума нет.
Рис. 41
Теорема (необходимое условие экстремума): Пусть определена в . Если точка является точкой локального экстремума функции , то ее производная либо равна в этой точке, либо не существует.
Действительно, в точке производная либо существует, либо не существует. Если существует, то по теореме Ферма она равна . •
Примеры:
точка локального min.
.
Рис. 42
точка локального min.
.
Рис. 43