62. Погрешность линейного приближения
Пусть
ошибка, допускаемая при вычислении
значения
с помощью формулы линеаризации, то есть,
. (1)
Предположим, что имеет непрерывную вторую производную.
Положим
в формуле (1) 
.
Дифференцируя равенство (1), находим:
. (2)
Положим
в формуле (2) 
.
Дифференцируем
равенство (2): 
.
Воспользуемся
теоремой Коши. Пусть 
.
Получаем 
, где 
лежит между
и
.
Снова
воспользуемся теоремой Коши, полагая
.
Находим
,
где
лежит между точками
и
.
,
или 
.
Точка
лежит между точками
и
,
а точка
- между
и
точка
лежит между
и
.
Итак,
,
где точка
лежит между
и
.
Пусть
между
и
.
Тогда 
.
63. Правило Лопиталя
Теорема
1
:
Пусть:
функции и определены и дифференцируемы в некоторой за исключением, быть может, самой точки , причем
для ;
;
(конечный или бесконечный).
Тогда
существует предел
.
Примечание:
Если
,
а
и 
удовлетворяют условиям теоремы, то
.
Теорема
2
:
Пусть:
функции и определены и дифференцируемы в , за исключением, быть может, самой точки , причем при
;
и
;.
Тогда существует предел .
Примечание: В теоремах 1 и 2 – либо конечная точка, либо .
Примеры:
Вычислить
.
.
При логарифм растет медленнее, чем любая степень .
Вычислить
.
.
При
любая степень 
растет медленнее, чем 
.
64. Достаточное условие возрастая и убывания функций
Теорема: Пусть функция определена и дифференцируема на интервале .
Тогда
если 
на
,
то
строго возрастает на
.
Если же 
на
,
то
строго убывает на
.
Пусть
,
тогда по теореме Лагранжа 
,
где 
.
Учитывая,
что 
,
получаем, что:
-
функция возрастает, если 
,
-
функция убывает, если 
.
•
Примечание:
Аналогично можно доказать следующую
теорему: Пусть
определена и дифференцируема на интервале
,
если 
,
для 
,
то
не убывает на
,
если 
,
для 
то
не возрастает на
.
65. Достаточное условие экстремума
Теорема:
Пусть
определена и непрерывна в
,
и дифференцируема в 
.
Если
меняет знак при переходе через точку
,
то точка
является точкой строго локального
экстремума. При этом:
если для
и
для 
,
то точка
является точкой строгого локального
max;если для и для , то точка точка строгого локального min.
Рис. 49
1) Пусть
для
и
для 
.
По
теореме Лагранжа 
,
где
лежит между
и
.
Рис. 50
Если
,
то
,
значит, 
.
Если
,
то
,
значит,
.
Итак,
при всех
,
то есть 
точка
строгого локального max.
Для точки строгого локального min доказательство аналогичное. •
Глава 3: формула тейлора
66. Параболическое приближение
Пусть функция определена в . Ранее мы вывели формулу Лагранжа и формулу . . Пусть производные, входящие в эти соотношения, непрерывны. Число , лежащее между и , не обязательно одно и то же в обеих формулах.
Наша
цель – вычислить приближенное значение
функции
,
пользуясь квадратичным многочленом
.
Многочлен
обладает свойствами:
,
,
.
.
Оценим остаток .
.
.
.
Таким
образом, 
.
Воспользуемся несколько раз следствием из теоремы Коши (см. раздел 60).
Положим
.
Пусть
,
тогда
,
где 
лежит между x
и
.
Затем,
положим
.
Получаем
,
где 
лежит между
и
.
Далее,
пусть
.
Имеем
.
Итак,
,
где точка
лежит между
и
.
Находим
выражение для остатка
,
точка
лежит между х
и
.
Окончательно получаем формулу параболического приближения
,
где точка лежит между точками х и (см. рис. 50).
Если
между
и
,
то
.