74. Точка перегиба
Пусть определена в , за исключением, быть может, точки .
Если
существуют интервалы 
и 
,
на одном из которых функция выпукла
вниз, а на другом – вверх, то говорят,
что при переходе через точку
функция меняет направление выпуклости.
Определение: Пусть функция определена в , непрерывна в точке и имеет в этой точке конечную или бесконечную производную. Тогда, если функция при переходе через точку меняет направление выпуклости, то точка называется точкой перегиба функции .
Если точка перегиба, то график функции переходит с одной стороны касательной на другую. Другими словами, касательная пересекает график функции.
Рис. 53
Примеры.
1.
.
Точка
является точкой перегиба, касательная
в точке перегиба совпадает с осью ОХ.
Рис. 54
2.
.
Точка
- точка перегиба, касательная в этой
точке совпадает с осью ОY.
Рис. 55
3.
.
Точка
не является точкой перегиба, т.к. функция
не определена в этой точке.
Рис. 56
4.
.
Точка
не является точкой перегиба, т.к.
направление выпуклости не меняется, а
производная не существует в этой точке.
Рис. 57
5.
.
Точка
не является точкой перегиба, т.к. в этой
точке производная не существует.
Рис. 58
Теорема
1 (необходимое условие перегиба):
Пусть
определена и дважды дифференцируема в
.
Если
точка перегиба, то
.
Если бы
,
то в силу непрерывности 
в некоторой окрестности точки
.
Тогда в силу теоремы раздела 73
была бы в этой окрестности выпуклой
вниз, а это противоречило бы тому, что
точка перегиба. Предположение
опровергается аналогично. •
Теорема 2 (достаточное условие перегиба): Пусть дифференцируема в точке и дважды дифференцируема в и ее вторая производная меняет знак при переходе через точку . Тогда точка перегиба. (Без доказательства)
Теорема:
Пусть
,
тогда точка
точка перегиба.
(Без доказательства).
Пример:
Найти интервалы выпуклости и точки
перегиба функции
.
Вычисляем
производные:
;
.
Производная второго порядка обращается
в ноль в точке
и меняет знак в окрестности этой точки:
при
функция выпукла вниз при
;
при
функция выпукла вверх при
.
Следовательно,
- точка перегиба. В точке М
на графике функции касательная пересекает
график (см. рис. 59).
Рис. 59
75. Асимптоты
Определение
1:
Пусть функция
непрерывна в
.
Прямая
называется вертикальной асимптотой
графика функции
,
если хотя бы один из односторонних
пределов функции в точке а
равен бесконечности:
или
.
Рис. 60
Примеры.
1.
.
Прямая
является вертикальной асимптотой, т.к.
,
.
Рис. 61
2.
.
Прямая
является вертикальной асимптотой, т.к.
.
Рис. 62
3.
.
Прямая
- вертикальная асимптота, т.к.
.
Определение
2:
Пусть функция
определена при
.
Прямая
называется наклонной асимптотой графика
функции
при
,
если
,
где
,
т.е.
- б.м. при
(иначе: если
).
Рис. 63
Асимптота
при
определяется аналогично.
Определение
3:
Пусть функция
определена при
.
Прямая
называется наклонной асимптотой графика
функции
при
,
если
,
где
,
т.е.
- б.м. при
.
Определение
4: Если
,
то прямая
называется горизонтальной асимптотой
графика функции
при
(
).
Пример:
.
Разделим «уголком» числитель на
знаменатель. Исходную функцию можно
представить в виде
|
|
.
Имеем
- наклонная асимптота при
.
Замечание: Рациональная функция всегда имеет одну и ту же асимптоту при и (если асимптота существует). В общем случае функция может иметь асимптоту только при или при , либо иметь разные асимптоты при и .
Теорема:
Для того чтобы функция
имела при
(
)
наклонную асимптоту
,
необходимо и достаточно, чтобы
существовали конечные пределы
и
.
Пусть
функция
имеет при
наклонную асимптоту
,
тогда
,
где
.
Имеем
;
.
Пусть
существуют
конечные пределы
и
.
Тогда
,
где
- б.м. при
.
Следовательно, функцию
можно представить в виде
- наклонная асимптота при
.
Для случая доказательство аналогичное. •