30. Непрерывность тригонометрических функций

Лемма:

Рис. 16

Построим окружность с центром в начале координат. Пусть

1. Пусть . Имеем .

2. Пусть тогда Находим, используя п.1:

.

3. неравенство очевидно, т.к.

Итог:

Следствие: Неравенство верно для

Теорема: Функции и непрерывны на всей числовой оси.

Докажем для

Итак, Для возьмем , тогда если , то . Непрерывность доказана.

Для функции доказательство проводится аналогично при помощи формулы •

Следствие: Функции и непрерывны во всех точках области их определения.

31. Односторонние пределы

Определение: Пусть определена в правой проколотой полуокрестности точки , то есть, на интервале вида .

Число называется пределом функции справа в точке , если такое, что .

Обозначение: 

Определение: Пусть функция определена в левой проколотой полуокрестности точки , то есть на интервале вида

Число называется пределом слева в точке если такое, что .

Обозначение:  .

Пример:

, и не существует.

Теорема: Пусть определена в некоторой проколотой окрестности . Функция имеет в точке предел, равный , тогда и только тогда, когда существуют и равны односторонние пределы и при

.

Определение: Функция непрерывна в точке справа, если она определена на полуинтервале и . Аналогично определяется непрерывность слева.

Следствие из теоремы для непрерывных функций: Функция непрерывна в точке тогда и только тогда, когда она непрерывна в точке слева и справа.

32. Классификация точек разрыва

Определение: Пусть функция определена в некоторой проколотой окрестности точки . Точка называется точкой разрыва функции , если не является непрерывной в этой точке.

Пример: точка разрыва.

Рис. 17

Определение 1: Точка разрыва первого рода – это точка разрыва, в которой функция имеет конечные односторонние пределы слева и справа.

а) Если правый и левый пределы функции в точке равны между собой (и не равны значению функции в этой точке!), то точка называется точкой устранимого разрыва.

Рис. 18

В точке функция имеет устранимый разрыв. В случае (А) значение функции не совпадает со значением односторонних пределов функции в этой точке; в случае (В) функция не определена в точке разрыва.

Чтобы «устранить» разрыв, нужно рассмотреть новую функцию . По определению эта функция непрерывна в точке .

б) Если , то точка скачка. Разность называется величиной скачка.

Определение 2: Точка называется точкой разрыва второго рода, если в этой точке хотя бы один из двух односторонних пределов функции не существует или бесконечен (в последнем случае это точка бесконечного разрыва).

Примеры:

1. точка 0 – точка разрыва первого рода, точка скачка, величина скачка.

2. точка бесконечного разрыва или разрыва второго рода.

3. - точка разрыва второго рода, не являющаяся точкой бесконечного разрыва. Это пример ограниченной функции, для которой не существуют односторонние пределы в точке .

Рис. 19