37. Теорема Коши о промежуточном значении непрерывной функции
Определение:
Функция
непрерывна на отрезке 
,
если она непрерывна в каждой точке
интервала 
,
в точке
непрерывна справа, а в точке 
непрерывна слева.
Обозначение:
.
Теорема:
Пусть
Тогда
:
существует точка 
такая, что 
Рис. 23
Другая формулировка теоремы: Непрерывная на отрезке функция принимает все свои промежуточные значения.
Примечания:
В теореме рассматривается случай
Аналогично можно рассмотреть условие
.
Рис. 24
Точка
может быть не единственной.
Рис. 25
В теореме существенно требование непрерывности функции .
Приведем
пример функции, для которой теорема не
верна: 
.
Рис. 26
Промежуточных значений нет.
38. Обратная функция
Рассмотрим
функцию
.
Здесь 
множество определения функции, 
множество ее значений; 
.
Пусть обладает свойством
(1)
Для
В силу свойства (1) это
единственное. Следовательно, можно
построить обратную функцию
.
По определению
.
Обозначение: 
Пример:
39. График обратной функции
Пусть обладает свойством (1).
Поскольку
функции
и
задают одно и то же соответствие между
числами x
и y,
их графики совпадают. Рассмотрим функцию
.
Точки 
и 
симметричны относительно 
значит, и графики функций
и симметричны относительно прямой 
.
Пример:
.
Находим обратную функцию, выражая x
через
y:
.
Меняем местами переменные в формуле
для обратной функции и строим графики
исходной и обратной функций.
Рис. 27
40. Существование обратной функции
Теорема:
Пусть
строго монотонна и непрерывна на отрезке
(или 
),
тогда 
Строгая монотонность – достаточное условие для существования обратной функции, но это условие не является необходимым.
Пример:
,
Рис. 28
Эта функция не монотонна нигде. Графики исходной и обратной функии совпадают.
41. Непрерывность обратной функции
Пусть непрерывна на отрезке , возрастает (убывает) на этом отрезке.
тогда на 
,
она возрастает (убывает) и 
42. Непрерывность элементарных функций
Определение:
Следующие функции называются основными
элементарными функциями:
Все эти функции непрерывны там, где они
определены.
Функции, полученные из основных элементарных функций при помощи конечного числа арифметических операций и операций образования сложной функции, называются элементарными функциями.
Теорема: Элементарная функция непрерывна на каждом промежутке, где она определена.
43. 1-я и 2-я теоремы Вейерштрасса (о функциях, непрерывных на отрезке)
1-я
теорема Вейерштрасса:
Если 
,
то
ограничена на
.
(Функция, непрерывная на отрезке, ограничена на этом отрезке).
Замечания: 1. В теореме существенно, что функции рассматриваются на отрезке.
Например,
Функция непрерывна на 
,
но не ограничена на 
Рис. 29
2. В теореме существенно требование непрерывности функции.
Рассмотрим
функцию
.
Рис. 30
Функция определена на отрезке, но не ограничена, т.к. не является непрерывной.
2-я
теорема Вейерштрасса:
Пусть функция 
,
тогда
,
и
.
То есть, функция, непрерывная на отрезке, принимает на нем наибольшее и наименьшее значения.
Замечания: 1. В теореме существенно, что рассматривается отрезок.
Примеры:
а) 
.
Рис. 31
Функция не принимает наибольшего и наименьшего значений
б)
.
Рис. 32
Функция не принимает наибольшего значения.
2. В теореме существенно требование непрерывности.
Рассмотрим
функцию 
.
Рис. 33
Функция определена на отрезке, но не является на этом отрезке непрерывной функцией, наибольшее значение не принимает.