26. Бесконечно малая функция
Определение:
Функция
называется бесконечно малой при 
,
если
.
Теорема
1:
Пусть 
и 
б.м. функции при
,
тогда 
б.м. функция при
.
:
;
:
Возьмем
,
тогда
•
Теорема
2:
Пусть функция
ограничена в
;
-
б.м. функция при 
тогда 
б.м. функция при
.
Пусть ограничена в :
. (1)
:
. (2)
Возьмем
,
тогда
из 
неравенства (1) и (2) выполняются одновременно
и 
б.м. функция. •
Теорема
3:
Предел функции
тогда и только тогда, когда 
бесконечно
малая функция при 
Пусть
:
,
т.е.
,
значит 
б.м. при
Пусть
б.м. при
,
т.е.
:
т.е.
.
•
27. Арифметические действия с пределами
Теорема 1 (о пределе суммы и разности):
Если
существуют
и
,
то существует
.
, это
значит, что
б.м. при 
т.е. 
б.м. при 
б.м. при
.
Для
разности доказательство аналогичное.
Примечание: Обратная теорема не верна.
Пример:
.
Тогда
и
,
но
и
.
Теорема
2 (о пределе произведения):
Если
существуют
и
,
то существует
.
б.м. при
.
Аналогично 
где 
б.м.
при
.
Слагаемые
б.м.
при
,
то есть, 
б.м.
при
.
•
Теорема
3 (о пределе частного):
Если
существуют
и
,
причем
,
то существует
.
1) Покажем, что в некоторой проколотой
окрестности точки
функция
и функция
ограничена. Выберем
.
Тогда
.
Имеем:
,
по свойству модуля
.
Переходим к обратным величинам:
.
Окончательно получаем:
.
Итак, функция
определена в некоторой проколотой
окрестности точки
.
2) Докажем теорему 3.
.
Правая
часть является б.м. при
как произведение б.м. при
на ограниченную 
.
То есть, . •
28. Бесконечно большие и бесконечно малые функции
Определение:
Пусть
определена в 
Функция
называется бесконечно большой (б.б.) при
если
.
Рис. 13
Теорема
1:
Пусть 
б.м. при
и
при
.
Тогда 
б.б. функция при
Теорема
2:
Пусть 
б.б.
при и
такое, что
.
Тогда 
б.м. функция при
29. Непрерывность функции
Пусть
определена в некоторой 
Определение
1:
Функция
непрерывна в точке
,
если
.
Определение
2:
Функция
непрерывна в точке
,
если
.
Определение
3:
Функция
непрерывна в точке
,
если
.
Определение
4:
Пусть 
приращение
аргумента, 
приращение
функции. Функция
непрерывна в точке
,
если
.
Рис. 14
Теорема
(об арифметических операциях с непрерывными
функциями):
Если функции
и 
непрерывны в точке
,
то их сумма, произведение, а если
,
то и частное 
непрерывны в точке
Действительно,
значение функции 
в точке 
;
.
•
Примеры непрерывных функций:
непрерывна
в любой точке 
.
Надо
доказать: 
такое что если 
,
то 
Действительно,
выберем произвольное 
Тогда 
непрерывна в любой точке 
.
Пусть
произвольно. Возьмем 
Тогда, если
.
Рис. 15
Рассмотрим произвольный многочлен
.
Эта
функция непрерывна 
Действительно,
непрерывны,
функция 
непрерывна как произведение
,
функция 
непрерывна как произведение
и т.д. Ясно, что 
непрерывна. Функция 
также непрерывна.
Остается заметить, что многочлен непрерывен, как сумма непрерывных функций.
Рациональная функция
где 
многочлены,
непрерывна во всех точках
,
где знаменатель
.