Глава 2: производная
44. Определение производной
Определение:
Пусть
определена в 
,
пусть 
.
Если
отношение 
имеет предел при
,
то этот предел называется производной
функции
в точке
.
Обозначение:
.
То есть,
.
Если
ввести обозначение 
то
.
Обозначим
,
тогда
.
Операция вычисления производной называется дифференцированием.
Каков
смысл производной? Пусть 
тогда
это
средняя скорость изменения переменной
на отрезке 
относительно переменной
.
,
если
он
,
это скорость изменения переменной 
относительно переменной
в точке
.
Пример:
Найти производную функции 
в точке 
.
.
.
Итак, 
.
45. Производные основных элементарных функций
,
.
.
.
.
.
.
Выводится аналогично производной
синуса.
.
;
.
5)
.
.
.
46. Дифференцируемая функция
Определение:
Пусть функция
определена в 
.
Функция
называется дифференцируемой в точке
,
если приращение функции
представимо в виде 
.
.
Если
дифференцируема в точке
,
то с точностью до б.м. более высокого
порядка, чем 
,
она равна в
линейной функции.
То
есть, в окрестности точки
дифференцируемая функция ведет себя
«почти как» линейная функция 
Теорема 1: Функция дифференцируема в точке тогда и только тогда, когда она имеет в этой точке конечную производную.
Пусть
конечная производная
,
т.е. существует
,
который равен
.
Это значит, что 
при 
.
.
по определению функция дифференцируема.
Пусть
дифференцируема в точке
,
тогда 
,
,
.
•
Теорема 2: Если функция дифференцируема в точке, то она и непрерывна в этой точке.
Пусть
дифференцируема в точке
.
Значит, 
.
.
Это и есть одно из определений непрерывности
функции. •
Примечание: Обратное утверждение не верно, не всякая непрерывная функция дифференцируема.
Пример:
.
Функция непрерывна в этой точке, но не
дифференцируема, так как
.
Рис. 34
47. Дифференцирование результатов арифметических действий с функциями
Теорема
1:
Если функции 
определены в
,
а в самой точке х
имеют конечные производные, то в точке
х
производные:
;
;
.
48. Производная обратной функции
Теорема:
Если функция y=
непрерывна и строго монотонна в
окрестности точки
и имеет в этой точке производную
,
то обратная функция
имеет в точке 
производную
.
Пусть функция
строго монотонна и непрерывна в
окрестности точки
,
тогда обратная функция 
строго монотонна и непрерывна в
соответствующем интервале, 
,
.
Тогда для
Для
.
•
Примеры:
обратная функция.
(
при
).
.
-
обратная функция.
(
при
).
.
- обратная функция.
.
Аналогично .
,
обратная функция.
.
.
В частности, 
.
49. Производная сложной функции
Теорема:
Если функция
имеет производную в точке
,
а функция 
имеет производную в точке
,
то сложная функция 
имеет производную в точке
,
причем 
.
Функция
дифференцируема в точке 
,
следовательно,
.
Функция
дифференцируема в точке
,
а значит и непрерывна в этой точке. Тогда
по теореме о непрерывности сложной
функции
.
.
•
Пример:
.
Представим
степенную функцию
в виде
,
где
.
Имеем
.