58. Теорема Ролля
Теорема.
Пусть
функция 
непрерывна на отрезке
;дифференцируема во всех внутренних точках этого отрезка;
принимает на концах отрезка равные значения:
,
тогда
существует точка 
такая, что 
.
По 2-ой теореме Вейерштрасса функция,
непрерывная на отрезке, достигает на
этом отрезке своего наибольшего и
наименьшего значений. Пусть 
наибольшее значение
на 
наименьшее
на
,
то
есть, 
.
Если 
,
то функция постоянна и 
на 
.
Тогда в качестве
можно взять любую точку интервала
.
Если 
,
то из условия теоремы следует, что хотя
бы одно из этих значений
и
не достигается на концах отрезка
.
Пусть это
,
.
Поскольку
- наибольшее значение функции на
,
то точка
является точкой локального максимума.
Из теоремы Ферма следует
.
•
Все условия теоремы Ролля существенны.
Нарушена непрерывность
Рис. 44
Функция не дифференцируема на
Рис. 45
Рис. 46
Геометрический смысл: У графика непрерывной на отрезке и дифференцируемой на интервале функции, принимающей на концах этого отрезка равные значения, существует точка, в которой касательная к графику параллельна оси .
Рис. 47
59. Теорема Лагранжа
Теорема:
Пусть функция
непрерывна на отрезке
и дифференцируема во всех точках
интервала
,
тогда
точка
такая, что 
.
Рассмотрим вспомогательную функцию
,
где 
число. Выберем
так, чтобы выполнялось условие 
,
т.е. 
. Функция 
удовлетворяет всем условиям теоремы
Ролля 
такое, что 
.
Поскольку 
,
то
.
Подставив
выражение для
,
находим 
.
Окончательно получаем: 
формула Лагранжа или формула конечных
приращений. •
Примечание:
.
Геометрический смысл:
Рис. 48
Пусть
- точки на графике функции, АВ
– хорда. Существует точка
,
в которой касательная к графику функции
параллельна хорде.
Следствие
1:
Если в условиях теоремы 
,
то 
.
Следствие
2:
Если в условиях теоремы
для 
,
то 
,
то есть,
линейная функция.
60. Теорема Коши
Теорема: Пусть функции и :
непрерывны на отрезке ;
дифференцируемы на интервале ;
для
.
Тогда
такое, что 
формула Коши.
,
т.к. если бы
,
то по теореме Роля существовала бы точка
,
в которой 
.
А это противоречит условию 3) теоремы.
Рассмотрим вспомогательную функцию
и подберем
так, чтобы 
.
Откуда
. (1).
Функция
удовлетворяет условиям теоремы Ролля,
значит,
,
для которой
.
Имеем: 
,
значит, 
и 
.
Воспользовавшись
равенством (1), получим формулу Коши 
.
•
Формула
Лагранжа является частным случаем
формулы Коши, если 
.
Следствие:
Если 
то 
такое, что 
.
61. Производные высших порядков
Рассмотрим
функцию
.
Пусть производная 
определена в
.
Если функция
имеет в точке
производную, то она называется производной
2-го порядка функции
в точке
.
Обозначения:
.
Аналогично
определяются производные более высоких
порядков: 
;
по определению 
.
Примеры:
В
частности, 
.
Аналогично,
.
(2)
