83. Признак Даламбера

Теорема. Пусть все члены ряда положительны. Если существует предел , то ряд сходится. Если предел , то ряд расходится,

○ 1. Пусть . Возьмем некоторое число : , тогда , начиная с некоторого номера . Поскольку сходимость или расходимость ряда сохраняется при изменении или удалении конечного числа его членов, то можно считать, что . Имеем:

 ,

 ,

…

Ряд есть геометрическая прогрессия со знаменателем  ряд сходится. По признаку сравнения ряд также сходится.

2. Пусть , тогда начиная с некоторого номера ,  при члены ряда возрастают   ряд расходится. ●

Замечание. 1. Если , то ряд расходится.

2. Если или не существует, то признак Даламбера неприменим: ряд может сходиться, а может расходиться.

Примеры: 1) ( )

,

 – сходится

2)

, . – признак Даламбера не дает ответа на вопрос о сходимости.

84. Радикальный признак Коши

Теорема. Пусть все члены ряда положительны и . Тогда, если , то ряд сходится, а если , то ряд расходится (без доказательства).

Замечание. 1. Если , то ряд расходится.

2. Если или не существует, то радикальный признак Коши неприменим: ряд может сходиться, а может расходиться.

Пример. .

 – сходится.

85. Абсолютно сходящиеся ряды

Определение. Ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд .

Для исследования ряда на абсолютную сходимость применяются признаки сходимости рядов с неотрицательными членами.

Пример. .

.

Ряд сходится ( )  по признаку сравнения сходится ряд  ряд сходится абсолютно.

Теорема. Если сходится ряд , то сходится и ряд . (Если ряд сходится абсолютно, то он сходится) (без доказательства).

86. Знакочередующиеся ряды

Определение. Ряд , где (или ), называется знакочередующимся рядом.

Пример. - знакочередующийся ряд.

Рассмотрим ряд – ряд Дирихле, где  ряд сходится  ряд сходится абсолютно.

Теорема (признак Лейбница). Если и , то ряд сходится и его сумма (без доказательства).

Следствие. Остаток ряда удовлетворяет условию .

Примечание. Ряд называется рядом Лейбница.

Пример. – знакочередующийся ряд.

– ряд Дирихле, где  ряд расходится.

Вывод: абсолютной сходимости нет.

1) ,

2) , ,

 по признаку Лейбница ряд сходится.

Определение. Ряд называется условно сходящимся, если он сходится, а ряд – расходится.

Пример. Ряд сходится условно.

Абсолютная сходимость: – сходится  – сходится.

Условная сходимость: – сходится, а – расходится.

Пример. Исследовать сходимость ряда в зависимости от .

Схема исследования: 1) абсолютная сходимость; 2) если ее нет, то признак Лейбница.

1) , если – абсолютная сходимость;

2) , ,

, – условная сходимость;

3) – ряд расходится.