79. Необходимое условие сходимости

Теорема. Если ряд сходится, то , где – общий член ряда.

○ – сумма ряда, ,

. ●

Следствие (достаточное условие сходимости). Если или не существует, то – расходится.

○ (доказательство от противного) Предположим, что ряд сходится. Тогда по теореме . Но по условию или не существует  ряд расходится. ●

Примечание. Обратное утверждение теоремы неверно. Если , то ряд может сходиться, а может расходиться.

Приведем примеры. 1. . Общий член ряда , .

Докажем, что ряд сходится. Рассмотрим вспомогательный ряд .

Общий член ряда  частичные суммы ряда ; ; … .

Тогда  ряд сходится.

Имеем: при  частичная сумма .

Последовательность возрастает и ограничена сверху   ряд сходится.

2. . Общий член ряда , . Частичная сумма ряда

 ряд расходится.

Примеры 1 и 2 – частные случаи ряда . Этот ряд называется рядом Дирихле. Он сходится при и расходится при (без доказательства).

80. Ряды с неотрицательными членами

Пусть - ряд с неотрицательными членами, т.е. . Тогда ,  последовательность – неубывающая, монотонная.

Теорема. Для того, чтобы ряд с неотрицательными членами сходился, необходимо и достаточно, чтобы последовательность его частичных сумм была ограниченной.

○ () сходится  сходится  ограничена.

() Пусть ограничена  сходится, т.к. она монотонна и ограничена  ряд сходится.●

81. Признак сравнения

Теорема (признак сравнения). Пусть для всех натуральных n

(1)

Тогда 1) Из сходимости ряда следует сходимость ряда .

2) Из расходимости ряда следует расходимость ряда .

○ 1) Пусть , - частичные суммы рядов и .

Из неравенства (1) следует, что для всех натуральных n выполнено неравенство . (2)

Если сходится, то – ограничена, тогда из неравенства (2)  тоже ограничена, а значит сходится.

2) Пусть расходится, значит не ограничена  из (2)  не ограничена, следовательно, тоже расходится ●.

Замечание. Теорема справедлива, если неравенство (1) выполнено при , .

Действительно, условия теоремы выполнены для рядов , , а отбрасывание конечного числа членов не влияет на сходимость.

Пример.

– сходится т.к. , по теореме сравнения также сходится.

82. Предельный признак сравнения

Теорема. Если , и существует конечный предел , то ряды и сходятся или расходятся одновременно.

○ Пусть , ,  ;  .

Если ряд сходится, то ряд тоже сходится и по теореме сравнения сходится ряд .

Если ряд расходится, то ряд тоже расходится и по теореме сравнения расходится ряд .

Аналогично, рассматривая , можно доказать, что из сходимости ряда  сходимость ряда и из расходимости  расходимость .

●

Следствие. Если , при и  при , то и сходятся или расходятся одновременно.

Пример. Исследовать на сходимость ряд .

 , ;  , .

Ряд сходится как геометрическая прогрессия со знаменателем ,  исходный ряд сходится по предельному признаку сравнения.