76. Построение графиков функций

Для исследования функции требуется:

1. Найти ООФ.

2. Отметить характерные особенности функции (если они имеются): периодичность, четность или нечетность, точки пересечения с осями координат.

3. Если граничные точки ООФ принадлежат этой области, найти значения функции в этих точках. В случае, если граничные точки ООФ не принадлежат ей, надо выяснить поведение функции в окрестности этих точек. Найти вертикальные асимптоты, если они существуют.

4. Найти наклонные асимптоты или убедиться в их отсутствии.

5. Найти промежутки возрастания и убывания функции. Найти точки экстремума.

6. Найти интервалы, на которых функция выпукла вверх или вниз. Определтть точки перегиба, если они существуют.

7. По результатам пп. 1-6 построить график функции.

Пример: Исследовать функцию .

1. .

2. Функция общего вида, не периодическая, значения функции всегда положительны, - точка пересечения с осью ординат.

3. Исследуем поведение функции в окрестности граничных точек ООФ: , , . Прямая - вертикальная асимптота.

4. ,  - горизонтальная асимптота при .

5. при всех  функция убывает при всех , точек экстремума нет.

6. .

определена при , обращается в ноль в точке и меняет знак в окрестности этой точки (см. рис. 64)  - точка перегиба. Ордината точки перегиба: .

Рис. 64

7. График функции изображен на рис. 65.

Рис. 65

Глава 4. Числовые ряды

77. Сходимость числового ряда

Пусть , , …, , … – числовая последовательность.

Определение. Выражение вида: …, или называется числовым рядом. Числа , , …, – члены ряда. – n-й член ряда.

Пример. ; – n-й общий член ряда.

Определение. Сумма n-первых членов ряда называется n-й частичной суммой и обозначается : .

Пример: – геометрическая прогрессия.

,

, , , …

Каждому числовому ряду можно сопоставить последовательность его частичных сумм . Здесь , , , …

Определение. Числовой ряд сходится, если существует конечный предел . Число называется суммой ряда.

Если последовательность частичных сумм не имеет предела или предел равен , то говорят, что ряд расходится.

Пример. , .

1) , – ряд сходится;

2) , – ряд расходится;

3) , , – ряд расходится;

4) ,

, , , … . – не существует.

	сходится при
	расходится при

78. Свойства сходящихся рядов

Теорема 1. Пусть даны два сходящихся ряда и . Тогда для сходится ряд и .

Если ряд сходится, а ряд расходится, то ряд расходится.

Если ряды и расходятся, то ряд может как сходиться, так и расходиться.

Пример:

– расходится,

– расходится,

– сходится.

Теорема 2. Если ряд сходится, то сходятся и ряды, получаемые из него добавлением, изменением или удалением конечного числа членов.

, – остаток ряда: .

, если сходится, то также сходится.

Если , то - остаток сходящегося ряда  0.