6. Ограниченное множество. Точные грани

Пусть

Определение: Множество ограничено сверху, если число , такое что для . Число – верхняя грань множества .

Например, для интервала можно взять , то есть, множество – ограничено сверху.

Множество натуральных чисел – не ограничено сверху.

Определение: Множество ограничено снизу, если число , такое что для . Число – верхняя грань множества .

Для , то есть ограничено снизу (можно было взять другое число например, ).

Множество – ограничено снизу.

Определение I: Множество ограничено, если оно одновременно ограничено сверху и снизу, то есть, если такие, что .

Например, – ограничено: – не ограничено.

Определение II: Множество – ограничено, если такое, что .

Теорема: Определения I и II равносильны (I II).

I II: m, M: .

Возможны различные варианты расположения множества на числовой прямой –

Возьмем тогда .

II I: , положим  I выполнено. 

Определение: Наименьшее из всех чисел, ограничивающее множество сверху, называется точной верхней гранью множества и обозначается (супремум ).

Определение: Наибольшее из всех чисел, ограничивающих множество снизу, называется точной нижней гранью множества и обозначается (инфинум ).

Примеры:

1. 

2. 

3. 

Теорема: Ограниченное сверху (снизу) непустое множество имеет точную верхнюю (точную нижнюю) грань.

(Без доказательства)

7. Отображение. Функция

Пусть два множества. Соответствие, которое относит некоторый элемент , называется отображением в

Пусть , отображение – есть функция – множество (или, еще говорят, область) определения функции ( ), – множество значений функции.

8. Последовательности

Пусть – множество натуральных чисел (или ).

Функция называется последовательностью точек множества .

Определение: Если каждому натуральному числу сопоставлено число , то говорят, что задана числовая последовательность

Обозначение: или .

Примеры:

1. 

2. 

3. 

9. Предел последовательности

Определение: Число называется пределом последовательности , если для любого положительного числа существует номер такой, что для любого выполняется неравенство

Обозначение: .

Так как неравенство , то есть, , определение предела последовательности можно сформулировать так:

.

Геометрически:

Точка – предел последовательности , если в любой -окрестности точки содержатся все члены этой последовательности, начиная с некоторого номера. А вне этой окрестности находится, быть может, лишь конечное число членов этой последовательности (не более, чем ).

Пример. Доказать, что .

По определению требуется доказать, что . Решим относительно неравенство . Пусть произвольное число, возьмем в качестве целое число большее, чем . Тогда .

Обозначение: целая часть числа, наибольшее целое число

, [-1,1]=-2.

Рис. 1

Итак, такое, что будет выполняться •

Пример. Доказать, что . Нужно доказать, что . Имеем: , далее см. предыдущий пример.