17. Свойства бесконечно малых последовательностей
Пусть
числовые последовательности и
тогда
линейная комбинация последовательностей
.
Теорема 1: Любая конечная линейная комбинация б.м. последовательностей является б.м. последовательностью.
Доказательство следует из теоремы об арифметических действиях с пределами (см. 14).
Теорема 2: Произведение б.м. последовательности на ограниченную есть б.м. последовательность.
Пусть
ограниченная последовательность, т.е.
.
Пусть
б.м. последовательность, т.е.
Тогда
Следовательно, последовательность 
бесконечно малая. •
Следствие: Произведение любого конечного числа бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.
Теорема
3:
существует т.т.т., когда 
б.м. последовательность.
т.е.
б.м.
б.м. последовательность, т.е.
•
18. Теорема Вейерштрасса
Теорема 1: Если неубывающая последовательность ограничена сверху, то она сходится. (Без доказательства)
Теорема 2: Если невозрастающая последовательность ограничена снизу, то она сходится. (Без доказательства)
Неубывающая последовательность ограничена снизу своим первым членом. Если эта последовательность ограничена сверху, значит, она ограничена. Невозрастающая последовательность ограничена сверху своим первым членом, поэтому невозрастающая ограниченная снизу последовательность – ограничена. Учитывая это, Т1+Т2 позволяют сформулировать теорему Вейерштрасса:
Монотонная ограниченная последовательность сходится, т.е. имеет конечный предел. (Без доказательства).
19. Число e
Теорема:
Существует предел
.
1) Докажем, что последовательность возрастает, т.е. монотонна.
Воспользуемся известным неравенством, связывающим среднее арифметическое и среднее геометрическое положительных чисел:
. (1)
Равенство
достигается при
Возьмем
число: 
.
Тогда, используя неравенство (1), получим
,
Возведем
обе части последнего неравенства в
степень
,
получим
,
т.е. последовательность возрастает.
2)
Докажем, что последовательность 
ограничена.
Аналогично
предыдущему можно доказать, что
последовательность 
возрастает.
.
Получаем,
что последовательность 
ограничена.
По
теореме Вейерштрасса монотонная
ограниченная последовательность имеет
предел. . Число 
иррациональное и трансцендентное, т.е.
оно не является корнем никакого
алгебраического выражения. 
•
20. Предел функции в точке
Определение:
Пусть функция 
определена в некоторой проколотой
окрестности точки 
Число
называется пределом функции 
в точке 
,
если для любого положительного числа
найдется такое положительное число
,
что для всех значений
,
удовлетворяющих условию 
выполняется неравенство 
Обозначение:
.
Рис. 2
Примечание: Функция может не существовать в точке .
Рассмотрим,
как, исходя из геометрических соображений,
для произвольного
найти число 
.
Для
(произвольное число) отметим на оси
ординат точки 
Проведем
прямые 
и 
В
полосе 
должны лежать все те точки 
графика функции
,
для которых
Отметим на оси 
точку
.
На оси OX
найдем все точки около точки 
,
для которых точки графика функции
лежат в полосе 
.
Это будет интервал 
Длину
меньшего из интервалов 
и 
обозначим
.
Тогда 
,
удовлетворяющего условию
выполняется наравенство 
Примечание: В качестве можно взять любое положительное число, меньшее найденного.
В
определении предела неравенство 
задает проколотую -окрестность
точки
,
а неравенство 
-окрестность
точки
.
Поэтому определение предела функции
можно записать так:
21. Бесконечные пределы в конечной точке
Рассмотрим
функцию 
.
Определение 1 (с помощью неравенств):
:
.
Определение 2 (с помощью окрестностей):
:
.
Рис. 3
Определение 3 (с помощью неравенств):
:
.
Определение 4 (с помощью окрестностей):
:
.
Рис. 4
22.
Конечные пределы при 
Определение
1 (с помощью неравенств):
:
.
Определение 2 (с помощью окрестностей): :
.
Рис. 5
Определение
3 (с помощью неравенств):
:
.
Определение 4 (с помощью окрестностей): :
.
Рис. 6
23.
Бесконечные пределы при
Определение:
.
Рис. 7
Определение:
.
Рис. 8
Определение:
.
Рис. 9
Определение:
.
Рис. 10
24. Единственность предела функции
Теорема:
Если 
,
то он единственный.
Предположим противное. Пусть существуют
2 предела
и
.
Пусть для определенности
.
Положим
.
.
(1)
Рис. 11
Возьмем
,
тогда
,
что невозможно в силу (1). Противоречие.
Следовательно,
,
т.е. предел единственный. •
25. Локальная ограниченность функции, имеющей предел
Теорема:
Если существует предел ,
то найдется проколотая окрестность
точки
,
в которой 
ограничена.
. По определению 
,
т.е. функция ограничена. •
Примечания:
Речь идет о локальной ограниченности функции, т.к. мы доказали ограниченность функции только в
.Теорема, обратная к доказанной, неверна. Рассмотрим функцию
Рис. 12
Функция
ограничена, но
.