Глава 3. Статистические показатели распределения

Выборочные ряды и таблицы распределения являются исходными данными для исследования случайных величин. Графики опытного распределения помогают лучше, нагляднее увидеть характер распределения, его похожесть на какое-либо теоретическое распределение. Статистические показатели конкретным числовым выражением характеризуют основные свойства выборочных рядов распределения случайных величин. Иногда статистические показатели называют просто статистиками. Таким образом, статистические показатели или статистики характеризуют выборки. Показатели, характеризующие генеральную совокупность, называют параметрами. Об оценке параметров написано в главе 4.

Одной из основных целей исследования случайных величин является выяснение основных свойств распределения: положения, изменчивости, косости и крутости.

3.1. Статистики положения значений случайной величины

Основными статистиками положения ряда распределения являются среднее арифметическое значение, медиана и мода.

Среднее арифметическое значение

Среднее арифметическое значение можно вычислить несколькими способами. Основным способом определения среднего арифметического значения для не сгруппированной выборки является деление суммы всех значений на их количество:

X_cp = (x₁ + x₂ + ... +x_n)/N., (22)

где: X_cp - среднее арифметическое значение;

x₁... x_N - элементы выборки объемом N.

Для сгруппированной выборки (вариационного ряда, частотного ряда):

(23)

где: X_i - серединные значения классов (интервалов);

i - порядковый номер класса;

n_i частота класса.

Согласно приведенной формуле для вычисления среднего арифметического значения нужно перемножить середины классов и частоты, а сумму произведений разделить на объем выборки.

Для выяснения положения ряда распределения с помощью среднего арифметического значения приведем пример из пособия А.К. Митропольского, стр. 39. Сгруппированные данные роста русских рабочих в количестве 33421 мужчины и 20994 женщин в возрасте от 21 года в 1890 году, выраженные в промилях, оказались следующими:

Таблица 18. Ряды распределения роста русских рабочих - мужчин и женщин, в промилях

	Количество
Рост, см	Мужчин	Женщин	Вместе
135,5		1	1
138,5		5	5
141,5		16	16
144,5	1	53	54
147,5	2	121	123
150,5	8	192	200
153,5	26	229	255
156,5	65	186	251
159,5	120	121	241
162,5	181	53	234
165,5	201	17	218
168,5	170	5	175
171,5	120	1	121
174,5	64	-	64
177,5	28		28
180,5	10		10
183,5	3		3
186,5	1		1
Сумма	1000	1000	2000
Среднее значение	165,5	153,5

Средний рост мужчин 110 лет назад был на 12 см выше среднего роста женщин. Ряд распределения мужчин по росту начинался со 144,5 см, а женщин - со 135,5 см, разница составляла 9,0 см; заканчивался ряд у мужчин на росте 186,5 см, у женщин на росте 171,5 см, разница составляла 15,0 см. Следовательно, выборка по росту мужчин смещена в сторону большего роста в среднем на 12 см. Таким образом, сравнение средних позволяет судить о положении всей выборки на оси значений переменной величины.

Размах варьирования роста у мужчин равен 42 см, у женщин - 36 см. Отсюда изменчивость роста мужчин выше изменчивости роста женщин.

Интересно посмотреть, как выглядит ряд распределения роста мужчин и женщин вместе, чтобы на очевидном примере показать, как выборка может быть внешне однородной, хотя на самом деле она таковой не является. Мы только что видели, что два ряда распределения (рост мужчин и женщин) различны, однако, объединенный ряд выглядит как выборка из однородной совокупности. Все сказанное иллюстрирует приведенный ниже график, рис. 8.

Рисунок 8 – Распределение по росту мужчин, женщин и вместе

Среднее значение является центром распределения всех элементов выборки. Исследование ряда распределения деревьев по высоте (см. график на рис 4) показывает, что чем ближе к среднему значению, тем выше частости. Аналогично распределены мужчины и женщины по росту. Таким образом, средние значения являются центром распределения случайной величины.

В механической интерпретации среднее арифметическое значение случайной величины - это абсцисса центра тяжести системы материальных точек, в качестве которых выступают середины классов «X_i» c массами - частотами «n_i»

Из формулы определения среднего значения (среднее значение равно «сумме произведений каждого значения переменной величины и соответствующей частоты деленной на объем выборки») следует, что произведение среднего значения на объем выборки равно сумме произведений каждого значения на соответствующую частоту:

X_cp * N = X_i *n_i. (24)

Поэтому, если, например, каким-то способом найден средний объем ствола в древостое, то, умножив его на количество деревьев, можно найти запас на гектаре или другой площади. Более точно можно определять запас, если знать средние объемы стволов по интервалам и число стволов в каждом интервале, т.е. если иметь вариационный ряд пробной площади по объему стволов. Тогда запас на пробной площади будет равен сумме запасов по интервалам (ступеням толщины).

Среднее арифметическое значение обладает такими свойствами:

1) Сумма центральных отклонений равна нулю. Поскольку среднее значение является центром значений переменной величины, то и разность каждого значения от среднего называется центральным отклонением. Центральные отклонения значений переменной величины, которые меньше среднего значения, всегда отрицательны, а больше среднего - всегда положительны и они равны друг другу. Поэтому сумму центральных отклонений целесообразно использовать в качестве оценки правильности вычисления среднего значения. В расчетах сумма центральных отклонений редко когда равна нулю. Эта сумма должна быть равна произведению величины округления среднего значения на объем выборки.

Пример. Среднее значение роста женщин 153,506 см. Округлите его до величины 153,5 см. Ошибка округления среднего значения равна 0,006 см. Сумма центральных отклонений первой степени по ряду роста женщин будет равна произведению ошибки округления 0,006 на объем выборки 1000, т.е. 6 см. Это совсем не означает, что правило неверно. Это означает, что вычиталось не среднее значение, а число, близкое к нему. При наличии ошибки вычисления, сумма центральных отклонений будет не равна нулю больше, чем на 6 см.

2) Сумма квадратов центральных отклонений всегда меньше суммы квадратов отклонений от любого другого значения, не равного среднему арифметическому значению. Например, если найти сумму квадратов отклонений вариант от неокругленного среднего значения и сравнить её с суммой квадратов отклонений от округленного среднего значения, то вторая сумма окажется больше первой. Это свойство среднего арифметического значения используется для оценки изменчивости значений переменной величины. Чем больше сумма квадратов центральных отклонений, тем выше изменчивость признака.

3) Среднее значение сложного ряда распределения, состоящего из нескольких составляющих рядов равного объема, равно среднему из средних значений этих составляющих рядов.

4) Среднее значение сложного ряда распределения, состоящего из нескольких составляющих рядов разного объема, равно среднему из средних значений, взвешенному на объемы выборок этих составляющих рядов.

Мода ряда распределения, (Мо)

Свойство положения частотного ряда можно характеризовать также и серединным значением (Xi) того интервала, у которого наибольшая частота. Например, в приведенных выше рядах распределения мужчин и женщин по росту, рост 165,5 см считается модой для ряда мужчин, а рост 153,5 см - модой для ряда женщин. Оба эти значения являются серединами интервалов по росту, которым соответствуют наибольшие частоты. Мода - часто используемое понятие для характеристики вариационных рядов, хотя считать её одним из статистических показателей не принято, поскольку для неё не вычисляется ошибка выборки, как, например, для среднего арифметического значения. Не принято оценивать это понятие и с позиции его вероятности относительно генеральной совокупности. Один вариационный ряд может иметь несколько модальных значений случайной величины когда, например, два или более классов имеют наибольшие, одинаковые частоты. Серединные значения этих классов и объявляют модой вариационного ряда.

И ногда для характеристики ряда распределения модами называют любое значение переменной величины, обладающее максимумом частот на каком-либо отрезке величины. Такое положение характерно для неоднородных переменных величин, например, для вариационного ряда по диаметру разновозрастного древостоя, состоящего из двух и более поколений, но не выделенных в разные генеральные совокупности. Полигон вариационного ряда такого древостоя может оказаться многовершинным, тогда середины тех классов, которым соответствуют Рисунок 9 – Полигон пики частот, объявляют модами частотного ряда, рис. 9.

Иногда полезно применить ещё один показатель положения, который называется медианой.

Медиана, (Ме)

Медианой случайной величины называют такое её значение, которое делит выборку пополам.

Чтобы найти медиану не сгруппированной выборки, её следует ранжировать, а затем определить такое её значение, которое стоит в середине. Половина объема выборки находится до медианы, их значения меньше или равны медиане, другая половина объема выборки стоит справа от медианы и они больше или равны медиане. При четном объеме выборки в центре ряда оказываются два значения ранжированного ряда. В таком случае медианой следует считать полусумму этих двух смежных значений. Например, медиана ряда 8, 9, 12, 14, 16, 17, 17, 18 равна (14+16)/2=15.

Медиана сгруппированной выборки вычисляется приближенно с допущением равномерного распределения частот того класса, в котором находится медиана. По накопленной частоте устанавливают класс, в котором находится медиана. Медиана находится в том классе, накопленная частота которого равна или несколько больше половины объема выборки. Назовем такой класс классом медианы. Если накопленная частота класса медианы равна половине объема выборки, то медианой является верхняя граница этого класса. Если накопленная частота класса медианы больше половины объема выборки, то медиана находится по формуле:

(25)

Me - медиана;

X_me - верхняя граница класса, предшествующего классу медианы;

d - величина классового интервала;

N - объем выборки;

n_npm - накопленная частота класса, предшествующего классу медианы;

n_me- частота класса медианы.

Приведенная формула не является математически выведенной. Дробная часть формулы, стоящая в скобках, вычисляет долю класса медианы, расположенную слева от значения медианы до его нижней границы включительно. Умножение этой доли на величину класса d переводит долю в единицы измерения переменной величины. Осталось сложить эту долю с верхней границей предшествующего класса и значение, которое разделит выборку пополам, будет найдено.

Таблица 19 – Пример вычисления медианы для ряда распределения русских рабочих.

Границы классов	Мужчины		Женщины
Нижняя - верхняя	Частоты	Накопленные частоты	Частоты	Накопленные частоты
134 – 137	-	-	1	1
137 – 140	-	-	5	6
140 – 143	-	-	16	22
143 – 146	1	1	53	75
146 – 149	2	3	121	196
149 – 152	8	11	192	388
152 – 155	26	37	229	617
155 – 158	65	102	186	803
158 – 161	120	222	121	924
161 – 164	181	403	53	977
164 – 167	201	604	17	994
167 – 170	170	774	5	999
170 – 173	120	894	1	1000
173 – 176	64	958	-	-
176 – 179	28	986	-	-
179 – 182	10	996	-	-
182 – 185	3	999	-	-
185 – 188	1	1000	-	-

Для ряда мужчин медиана равна:

Me=164+3*((1000/2-403)/201)=164+3*(500-403)/201=164+3*0.48=165.44см.

Согласно приведенным расчетам к верхней границе класса, предшествующего классу медианы (164см), прибавляется 0,48 величины класса, или 1,44см.

Для ряда женщин медиана равна:

Me=152+3*(500-388)/192=152+3*0.58=152+1.75=153.75см.

Медиана может быть определена по графику накопленных частот (кумуляте). Для этого достаточно из точки N/2 на оси накопленных частот провести перпендикуляр до пересечения с линией накопленных частот, из точки пересечения восстановить перпендикуляр на ось Х. Эта точка и будет указывать медиану, найти которую можно путем интерполирования с использованием масштаба оси Х..

В геометрической интерпретации медиана - это абсцисса точки, ордината которой разделит площадь полигона распределения пополам. Если рассматривать полигон частостей, то ордината медианы разделит его тоже пополам.