3.5. Статистики формы ряда распределения

Для оценки совпадения опытного ряда распределения с нормальным распределением вычисляют показатели формы ряда. По форме ряды распределения могут быть самыми разнообразными; они могут быть симметричными, но не относиться к нормальному распределению, быть чрезмерно «растянутыми» или, наоборот, «сжатыми». Несимметричные ряды могут иметь как положительную асимметрию, так и отрицательную. Степень асимметричности и крутости оценивается коэффициентами асимметрии и крутости..

Коэффициент асимметрии

Для оценки симметричности ряда распределения применяется коэффициент асимметрии. В литературе можно встретить другие названия этого показателя: показатель симметричности, косость, асимметрия. Они имеют одинаковый смысл и вычисляются для не сгруппированных выборок по формуле 34.

(34)

где Xi отдельное значение переменной величины;

Xcp - среднее арифметическое значение;

N - объем выборки;

среднее квадратическое отклонение.

Для сгруппированных выборок коэффициент асимметрии вычисляется по формуле 35.

(35)

Если наибольшие частоты сосредоточены в интервалах с меньшими значениями переменной величины, то правая ветвь кривой распределения относительно наибольшей ординаты более «вытянута», чем левая. Такая форма кривой (рис.17) называется положительной и характерна для распределения числа стволов по диаметру. Коэффициент асимметрии имеет знак плюс.

Если наибольшие частоты сосредоточены в интервалах с наибольшими значениями переменной величины, то левая ветвь кривой распределения относительно наибольшей ординаты длиннее правой ветви. Такая косость кривой распределения называется отрицательной (рис 18) косостью вариационного ряда. Коэффициент асимметрии в таких случаях имеет знак минус.

Ряд распределения называется симметричным, если коэффициент асимметрии равен нулю, рис. 19. Нормальное и Биномиальное распределения симметричны, коэффициент асимметрии для таких распределений равен нулю. Чем дальше от нуля значение коэффициента асимметрии, тем сильнее косость ряда распределения. Асимметрия в лесохозяйственных примерах грубо считается существенной, если она достигает плюс-минус единицы. При меньших значениях коэффициента асимметрии можно ряд распределения считать приближенно симметричным.

Рис 17. А = +0,78 Рис 18. А = – 0,33 Рис 19. А = 0,00 .

Коэффициент крутости

Назначение коэффициента крутости состоит в том, чтобы оценить степень концентрации значений переменной величины вокруг среднего арифметического значения, являющегося центром распределения. Чем больше значений переменной величины находится в центральных интервалах, тем выше крутость вариационного ряда распределения. Крутость ряда выше там, где меньше значение среднего квадратического отклонения и коэффициента варьирования. Поэтому с увеличением среднего квадратического отклонения снижается крутость ряда распределения, кривая становится плосковершинной и, наоборот, в островершинных рядах распределения среднее квадратическое отклонение меньше. Вычисляется коэффициент крутости по формуле

(36)

Знак коэффициента крутости положительный в тех случаях, когда крутость опытного ряда выше крутости ряда нормального распределения. Если знак коэффициента крутости меньше нуля, то это означает, что опытный ряд распределения является плосковершинным по сравнению с рядом нормального распределения.

Коэффициент крутости, вычисленный для нормального распределения, равен нулю. Крутость исследуемого ряда распределения сравнивается с крутостью нормального распределения. При решении лесоводственных задач можно считать распределение несущественно отличающимся от нормального распределения, если коэффициенты косости и крутости ряда по модулю не превышают единицы. При положительных значениях коэффициента крутости кривая распределения называется островершинной кривой распределения, а при отрицательных – плосковершинной кривой распределения.

Пределом отрицательной меры крутости считается величина меры крутости, равная минус 2. (Митропольский А.К., стр.62).

Таблица 27 – Вычисление статистических показателей распределения

Значения	Частоты	Сумма	Центральные отклонения
Х	n	x*n	(Х-Хср)*n	(Х-Хср)^2	(Х-Хср)^3	(Х-Хср)^4
1	2	2	-7,26	26,36	-95,70	347,43
2	11	22	-28,93	76,11	-200,21	526,63
3	22	66	-35,87	58,48	-95,35	155,47
4	15	60	-9,46	5,96	-3,76	2,37
5	13	65	4,80	1,78	0,66	0,24
6	10	60	13,70	18,76	25,69	35,18
7	8	56	18,96	44,92	106,44	252,21
8	6	48	20,22	68,12	229,55	773,48
9	3	27	13,11	57,28	250,29	1093,64
10	2	20	10,74	57,66	309,63	1662,60
	92	426	0,00	415,43	527,23	4849,24
	Среднее	4,6304348	Сигма	1,90897	0,8238	0,97
	Результаты вычисления
	1). Среднее арифметическое значение равно 4,63
	2). Среднее квадратическое отклонение равно 1,91
	3) Показатель асимметрии равен 0,82
	4) Показатель крутости распределения равен 0,97

Таблица 28 – Вычисление статистических показателей распределения
Значения	Частоты	Сумма	Центральные отклонения
Х	n	x*n	(Х-Хср)*n	(Х-Хср)^2*n	(Х-Хср)^3*n	(Х-Хср)^4*n
1	2	2	-10,43	54,44	-284,05	1481,98
2	3	6	-12,65	53,36	-225,04	949,07
3	5	15	-16,09	51,76	-166,53	535,78
4	6	24	-13,30	29,50	-65,42	145,05
5	10	50	-12,17	14,82	-18,04	21,96
6	18	108	-3,91	0,85	-0,18	0,04
7	25	175	19,57	15,31	11,98	9,38
8	17	136	30,30	54,02	96,30	171,66
9	4	36	11,13	30,97	86,18	239,81
10	2	20	7,57	28,62	108,24	409,45
Сумма	92	572	0,00	333,65	-456,54	3964,18
	Среднее	6,21739	сигма	2,46	-0,33	-1,83

Результаты вычисления по таблице 28.

1. Среднее арифметическое значение – 6,22

2. Среднее квадратическое отклонение – 2,46.

3. Показатель асимметрии распределения - –0,33.

4. Показатель крутости распределения - –1,83.

Таблица 29 – Вычисление статистических показателей распределения

Х	N	x*n	(Х-Хср)*n	(Х-Хср)^2	(Х-Хср)^3*n	(Х-Хср)^4*n
1	1	1	-4,663	21,743974	-101,393	472,8
2	5	10	-18,315	67,089438	-245,752	900,199
3	25	75	-66,576	177,29501	-472,144	1257,34
4	12	48	-19,957	33,188563	-55,194	91,7901
5	1	5	-0,663	0,4396267	-0,29149	0,19327
6	0	0	0	0	0	0
7	9	63	12,0326	16,087075	21,5077	28,7549
8	33	264	77,1196	180,22507	421,178	984,275
9	5	45	16,6848	55,676394	185,79	619,972
10	1	10	4,33696	18,809192	81,5746	353,786
сумма	92	521	2E-14	570,55435	-164,724	4709,11
	Среднее	5,66	сигма	3,13	-0,06	-2,47