3.4. Среднее квадратичное отклонение в нормальном распределении

Являясь вообще показателем изменчивости переменной величины, среднее квадратическое отклонение в нормальном распределении приобретает более конкретное значение, а именно позволяет вычислить интервал, в котором заключено строго определенное количество вариант. Для этого определяют доверительные интервалы:

1 сигма – Хср + 1 сигма – в этом интервале заключено 68 % вариант выборки;

2 сигмы - Хср + 2 сигмы – в этом интервале заключено 95 % вариант выборки;

3 сигмы – Хср + 3 сигмы – в этом интервале заключено 99.7 % вариант выборки;

Например, если средний арифметический диаметр равен 20 см, а среднее квадратическое отклонение 5 см, распределение деревьев по диаметру приближенно нормальное, в интервале от 15 до 25 см заключено 68 % деревьев. Другими словами, 68 % деревьев имеют диаметры в пределах интервала 15-25 см. 95% деревьев имеют диаметры от 10 до 30 см и 99.7% деревьев (практически весь древостой) имеют диаметры от 5 до 35 см.

Только единичные деревья имеют диаметры немного меньше 5 см и больше 35 см. Если распределение не подчиняется закону нормального распределения, то приведенные закономерности не соблюдаются.

Чем больше интервал Хср ± σ, тем выше изменчивость признака. По величине этого интервала можно сравнивать изменчивость нескольких одноименных переменных. Чем больше интервал, тем выше изменчивость. Однако нередко приходится сравнивать изменчивость разноименных переменных, например диаметра и высоты. Какой из этих таксационных показателей изменяется сильнее в древостое? В таких случаях вычисляют коэффициент варьирования признака (V), введенный Пирсоном.

Коэффициент варьирования переменной величины

Коэффициент варьирования вычисляют по выражению

V= σ / Xcp*100%- (25)

Этот показатель называют также мерой изменчивости. Мера изменчивости показывает, насколько велико рассеяние случайной величины по сравнению с её средним значением.

Например, мера изменчивости для ряда распределения диаметров равна V=5/20*100=25%.

Многочисленными исследованиями установлена устойчивость коэффициента изменчивости основных биометрических признаков деревьев в пределах однородных одновозрастных древостоев. Ниже приведены коэффициенты варьирования основных таксационных признаков для приспевающих и спелых насаждений (Никитин):

Диаметр . . . . . . . . . . . ..20-30%

Высота . . . . . . . . . . . . . 8-12%

Объем . . . . . . . . . . . . . . 50-60%

Радиальный прирост. . .40-50%

Объемный прирост . . . 60-75%

Видовое число . . . . . . . .7-12%

По величине коэффициента варьирования можно сравнивать изменчивость как одноименных, так и случайных разноименных величин. Реальный смысл имеет мера изменчивости, не превышающая 50%. Это связано с тем, что если средняя величина слишком мала по сравнению со средним квадратичным отклонением, то коэффициент вариации приобретает завышенное значение и не отражает реальной картины. Плохая работа коэффициента вариации наблюдается в тех случаях, когда часть значений имеет положительный знак, а часть - отрицательный. В таких случаях среднее значение приближается к нулю, например средняя температура воздуха весной. Коэффициент варьирования, вычисленный по данным температуры, измеряемой в период перехода её от минусовых величин к плюсовым значениям, приобретает неадекватный смысл.

Мера изменчивости широко применяется в биологических исследованиях. Она, безусловно, должна быть определена во всех случаях выборочных исследований. От величины изменчивости переменной величины зависит надежность определения выборочных статистических показателей, в том числе среднего арифметического значения.

На рисунках 14, 15, 16 представлены графики рядов распределений, причем рисунки 15 и 16 получены путем разделения объединенного ряда, изображенного на рисунке 14 на однородные совокупности. Исходные данные помещены в таблице 26.

Таблица 26 – Распределение объединенного ряда и двух простых рядов

Хi	5	10	15	20	25	30	35	40	45	50	Итого
Ni (объед)	2	11	22	15	13	21	17	10	3	1	115
Ni(1)	2	11	22	13	5	2	1				56
Ni(2)				2	8	19	16	10	3	1	59

Рисунок 14. σ=10,3 Рисунок 15. σ = 6,0 Рисунок 16. σ = 6,3

Оставив без изменений форму распределения, но уменьшив в 5 раз значения переменной величины, получили следующие ряды распределения, табл. 26.

Таблица 26 – Распределение объединенного ряда и двух простых рядов

Хi	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	Итого
Ni (объед)	2	11	22	15	13	21	17	10	3	1	115
Ni(1)	2	11	22	13	5	2	1				56
Ni(2)				2	8	19	16	10	3	1	59

Значения среднего квадратического отклонения стали следующими:

σ_объед=2,1. σ₁ =1,2. σ₂ = 1,3.

Эксперимент показал, что уменьшение значений переменной величины в 5 раз привело к снижению среднего квадратического отклонения тоже в 5 раз.