1.3. Вероятностный характер статистических выводов

Достижение устойчивости в величине частости события дает возможность по частостям событий делать достаточно надежные выводы о вероятностях этих событий.

Вероятность события получится, если число случаев, благоприятствующих данному событию, разделить на общее число случаев.

Например, в древостое имеются деревья разных диаметров: - 20% деревьев имеют диаметры 12см, 30% имеют диаметры 16см, 40% - 20см и 10% имеют диаметры 24см. Всех деревьев разных диаметров 100%. Спрашивается, чему равна вероятность такого события, что первое встреченное в этом древостое дерево будет иметь диаметр 20см? Вероятность такого события можно вычислить путем деления числа деревьев с таким диаметром на общее количество деревьев в древостое. Вероятность того, что первое встреченное в таком лесу дерево будет иметь диаметр 20 см, равна 0,20 или 20 %.

Если вероятность обозначить буквой «p», число случаев проявления события буквой «m» , общее число случаев буквой «n» , то формулу вероятности можно записать так:

p = m/n. (1)

Следовательно, вероятность может принимать значения от 0 до 1 всегда со знаком плюс. Вероятность, равная 1, означает, что все 100% случаев благоприятны только одному событию. Это может быть в древостое, где все деревья имеют одинаковый диаметр, или когда во всех почвенных ямах равное количество личинок, или если всхожесть семян одинаковая во всех пробах и т.д. Вероятность события, равная 1.0, указывает на полное отсутствие альтернативы.

В теории вероятностей в тесной связи с вероятностями событий находится так называемый ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ.

Закон больших чисел имеет место при любой постоянной вероятности события при отдельном испытании. Простейший вид закона больших чисел называется теоремой Бернулли.

Теорема Бернулли. Если имеется неограниченный ряд независимых испытаний, при каждом из которых вероятность некоторого события остается постоянной, то при достаточно большом числе испытаний будет сколь угодно близкой к достоверности вероятность того, что отношение числа появлений события к числу испытаний произвольно мало отличается от вероятности события при отдельном испытании.

Закон больших чисел исключительно важен при научных исследованиях. На основании этого закона можно с необходимой уверенностью ожидать приближенное равенство между установленными из наблюдений частостями некоторых событий и их вероятностями, а также мы можем по вероятности события судить о том, как часто событие будет повторяться.

Основное положение закона больших чисел вскрывает сущность математических методов анализа и моделирования. При испытаниях в одной повторности достоверность результата неизвестна. Но при достаточно большом числе испытаний (повторностей) частости появлений того или иного события приближенно равны их вероятностям. Другими словами, закон больших чисел показывает, что заключения, неприменимые к каждому отдельному значению, оказываются вполне обоснованными по отношению к достаточно большой совокупности однородных значений. Теорема Бернулли нашла свое подтверждение в приведенном выше эксперименте поэтапного перечета деревьев.

К приведенному выше примеру вычисления среднего количества личинок на квадратном метре питомника теорема Бернулли имеет прямое отношение. На первой площадке 8 личинок, на второй - 25 личинок, на третьей - 12 личинок. Полученное среднее арифметическое значение 15 личинок на одном квадратном метре питомника не является величиной достаточно достоверной. Из трех испытаний все дали далекий результат по числу личинок от вычисленного среднего значения. Следовательно, вероятность того, что среднее значение в генеральной совокупности (для всего питомника) будет близка к цифре 15, очень низка.

Несколько забегая вперед, отметим, что с вероятностью 0,95 среднее значение равно 15 личинкам плюс-минус 3 личинки. Нужно, чтобы в этот интервал входило не менее 95 % благоприятных случаев. Нижняя граница интервала 12 личинок, верхняя граница интервала 18 личинок. Из трех значений (8, 25, 12) в этот интервал входит только одна площадка из трех. Следовательно, вероятность того, что среднее количество личинок на квадратном метре питомника находится в заданном интервале, равна:

p=1/3 или 0,33.,

что недостаточно.

Для повышения вероятности заключения необходимо увеличивать количество площадок, так как уменьшить степень изменчивости данной переменной величины невозможно по условию задачи. Изменчивость числа личинок на питомнике в данное время - это характеристика, аналогичная засоренности, изменить которую можно только проведением каких-то мероприятий, например прополки сорняков.

Теоремы сложения вероятностей

Здесь применено следствие из теоремы 1 сложения вероятностей совместных событий. Согласно теореме 1 вероятность появления двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления:

P(A+B) = P(A) + P(B) - P(AB). (2)

Следствие теоремы 1 гласит: «вероятность появления суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий».

P(A+B) = P(A) + P(B). (3)

В эксперименте с монетой и с диаметрами деревьев следует рассматривать и различные плоскости монеты, и разные диаметры деревьев как несовместные события. За одно бросание монеты не может быть события, когда монета упадет сразу обеими плоскостями. Аналогично можно рассуждать и в опыте по обмеру диаметров деревьев. Лесовод не может измерять одновременно два и более диаметров, значит два диаметра - два несовместных события.

Не возникает противоречия и в случае применения следствия к вычислению вероятности суммы более двух несовместных событий.

P(A+...+N) = P(A) +...+ P(N). (4)

На примере древостоя, в котором 20 % деревьев имеют диаметры 12 см, 30% имеют диаметры 16 см, 40% - 20см и 10% имеют диаметры 24см, покажем, чему равна вероятность того, что диаметр взятого наугад дерева попадет в интервал от 16 до 20 см включительно? Всех деревьев разных диаметров в древостое 100%. Число случаев, благоприятствующих встрече дерева с диаметрами от 16 до 20 см, составляет 70 (30% + 40%) из ста. Следовательно, вероятность того, что первое дерево в начале обмера по толщине попадет в интервал от 16 до 20 см, составит 0,70. Эта вероятность могла быть получена как сумма вероятностей для стволов 16 см (0,30) и для стволов 20см (0,40).

Теорема 2. Вероятность появления события «В», противоположного событию «А», равна разности между 1 и вероятностью наступления события А:

P(B) = 1 - P(A). (5)

Следствие теоремы 1сложения вероятностей лежит в основе вывода функции распределения случайной величины:

F(x) =  P(X = x_i)., (6)

при условии, что x_i  x.

(О.А. Шушерина. Высшая математика. Теория вероятностей.)

Теорема 2 используется в обосновании элементарных статистических выводов. Подробнее об этом будет изложено в главе 4 «оценка параметров».