3.2. Статистики изменчивости значений случайной величины

В предыдущем параграфе приведено второе свойство среднего арифметического значения. Согласно ему сумма квадратов центральных отклонений является наименьшей по сравнению с суммой квадратов отклонений значений случайной величины от любого числа, не равного среднему арифметическому значению. Это свойство легко использовать для вывода показателя изменчивости значений случайной величины. В самом деле, если сумма квадратов центральных отклонений наименьшая, то это значит и единственная для исследуемой выборки. Величина этой суммы зависит от двух факторов: изменчивости значений и от объема выборки случайной величины. Влияние обоих факторов очевидно. Чем больше разница между значением случайной величины, тем больше квадрат разности, а чем больше объем выборки, тем больше количество слагаемых и их сумма. Сумма положительных отклонений равна сумме отрицательных отклонений. Возведение каждого отклонения в квадрат превращает отрицательные отклонения в положительные значения и сумма их не равна нулю.

Дисперсия

Если сумма квадратов центральных отклонений не будет зависеть от объема выборки, а только от изменчивости признака, тогда её можно использовать в качестве характеристики степени изменчивости случайной величины. Такая характеристика изменчивости называется дисперсией, для выборок малого объема дисперсия находится по формуле:

(26)

Дисперсия обозначена квадратом строчной буквы сигма греческого алфавита. Для больших выборок дисперсия находится по формуле:

(27)

В числителе обеих формул стоит сумма квадратов центральных отклонений.

Единицей измерения для дисперсии (это видно из формулы) является квадрат единицы измерения случайной величины. Это не всегда удобно и не наглядно. Например, дисперсия по росту мужчин в приведенном выше ряду равна 36 см². Очевидно, что использовать её можно только для сравнения изменчивости нескольких рядов. Можно сравнить дисперсию по росту женщин, которая равна 28 см², с дисперсией по росту мужчин. Сравнение показывает, что изменчивость роста мужчин заметно выше изменчивости роста женщин.

Преобразование дисперсии путем извлечения её из квадратного корня дает другой статистический показатель изменчивости, которому дано имя среднего квадратического отклонения.

Среднее квадратическое отклонение

Среднее квадратическое отклонение - это положительное значение корня квадратного из средней суммы квадратов центральных отклонений.

Для не сгруппированного ряда малого объема оно равно:

(28)

Для сгруппированного ряда оно равно:

(29)

Среднее квадратическое отклонение нередко, особенно в иностранной литературе, называют стандартным отклонением. По величине среднего квадратического отклонения можно сравнивать степень изменчивости случайных одноименных величин. Например, для рассматриваемых рядов роста мужчин и женщин средние квадратические отклонения соответственно равны 6,0 см и 5,3см. Следовательно, изменчивость роста женщин несколько меньше изменчивости роста мужчин.

Иногда в качестве единицы измерения среднего квадратического отклонения используют величину классового интервала. Например, интервал ряда роста мужчин и женщин равен 3см. Если за единицу измерения среднего квадратического отклонения взять эту величину интервала, то такая статистика называется неименованным средним квадратическим отклонением. Неименованное среднее квадратическое отклонение для роста мужчин составит 2 класса. В символах переход от именованного отклонения к неименованному среднему квадратическому отклонению следует написать так:

_cp= d*. (31)

Однако более интересное свойство у среднего квадратического отклонения обнаруживается в рядах, распределение которых подчиняется закону так называемого нормального распределения.

Нормальное распределение

Распределение значений случайной величины в природе оказывается чаще всего нормальным. Его название «нормальный» происходит именно потому, что, как самая распространенная форма распределения, она признана за «норму». Нормальное распределение получается тогда, когда отдельные наблюденные значения этой величины оказываются результатом воздействия бесчисленного множества независимых между собой факторов, каждый из которых может произвести очень малое положительное или отрицательное отклонение от среднего значения изучаемой случайной величины.

Под преобладающее в природе нормальное распределение разработана специальная теория, согласно которой вероятность появления того или иного значения случайной величины определяется по формуле 32:

(32).

где: (x) - вероятность появления значения x;

 - постоянная величина равна 3.141.

В формуле выражение x-Xcp является расстоянием от любого значения переменной величины до среднего арифметического значения. Если за единицу измерения этого расстояния взять величину среднего квадратического отклонения, , то формула существенно упростится:

(33)

где: t=(x-Xcp)/.

Величину t можно назвать центральным нормированным отклонением.

Подробнее об этой формуле будет изложено в следующей главе «оценка параметров», а пока ограничимся лишь более простым и наглядным представлением характера нормального распределения с целью показать содержание среднего квадратического отклонения. В основу объяснения положим так называемый арифметический треугольник.

Арифметический треугольник

Арифметический треугольник состоит из любого, но равного количества строк и колонок. В ячейки первых строки и колонки вписываются единицы. Числа для заполнения остальных ячеек вычисляются как сумма чисел сверху и слева. Составленный по этому правилу арифметический треугольник может иметь вид, показанный в таблице 20.

Таблица 20 – Арифметический треугольник

(0)	(1)	(2)	(3)	(4)	(5)	(6)	(7)	(8)	(9)	(10)
1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
1	3	6	10	15	21	28	36	45
1	4	10	20	35	56	84	120
1	5	15	35	70	126	210
1	6	21	56	126	252
1	7	28	84	210
1	8	36	120
1	9	45
1	10
1

Вверху таблицы числа в скобках означают номера столбцов, а также номера диагоналей, начинающихся с единиц, стоящих под этим числом и идущим влево вниз.

Для получения некоторого представления о нормальном распределении можно сделать следующее. Порядковые номера диагоналей арифметического треугольника, помещенные в скобках, использовать как значения переменной величины, а соответствующие этим номерам числа диагоналей – как частоты. По этим данным можно построить несколько графиков распределений (чисел на диагоналях). По мере увеличения числа интервалов, откладываемых на постоянной длине оси Х, многоугольники распределений сближаются и своими вершинами образуют кривую нормального распределения.

Очевидно, что так называемое нормальное распределение это придуманное учеными распределение, предназначенное для сравнения с ним опытных рядов распределения. Сравнение опытных распределений с нормальным распределением полезно потому, что оно обладает рядом замечательных свойств, из которых отметим следующие свойства:

1. Наибольшая ордината кривой нормального распределения соответствует среднему арифметическому значению;

2. В нормальном распределении совпадают между собой среднее арифметическое значение, медиана и мода.

3. Существует функциональная зависимость площади, заключенной между ординатами в интервале Xi ± Xcp, и величиной этого интервала, выраженного в единицах среднего квадратического отклонения. Во всех пособиях по математической статистике приводятся таблицы функции нормального распределения Ф(х).

4. Существует функциональная зависимость между ординатами кривой нормального распределения и отклонением от среднего значения, выраженного в единицах среднего квадратического отклонения. В пособиях также приводятся таблицы ординат кривой нормального распределения или функции плотности вероятности f(x).

5. В интервале Хср ± 3σ заключены практически все значения выборки. Отсюда берет начало известное правило трех сигм.