3.3. Закон больших чисел

В своем простейшем виде закон больших чисел дает возможность по частостям событий делать надежные выводы о вероятностях этих событий. Для обнаружения закономерностей изучаемого распределения необходимо произвести достаточно большое число наблюдений. При небольших объемах выборок установить характер распределения особей в генеральной совокупности по значениям переменной величины не представляется возможным. Только с увеличением числа наблюдений свойства выборочного наблюдения все точнее отражают свойства генеральной совокупности.

Числа арифметического треугольника лежат в основе арифметического доказательства закона больших чисел, упоминавшегося нами ранее. Закон больших чисел в его наиболее общем виде установлен русскими математиками Чебышевым и Марковым. Среди элементарных доказательств этого закона наиболее простым является арифметическое доказательство. Для арифметического доказательства рассмотрим результаты независимых друг от друга испытаний с подбрасыванием монеты, при каждом из которых вероятность появления события равна 0,5 или 1/2.

При одном испытании возможны два результата: - монета упала цифрой вверх или монета упала цифрой вниз. Обозначая падение цифрой вверх знаком плюс, а цифрой вниз - знаком минус, эти два возможных случая можно представить так:

При одном испытании

-	+
0	1
Количество раз цифрой вверх

Рисунок 10

При двух бросках монеты возможны четыре случая: - 1) два раза цифрой вниз, 2) цифрой вниз и цифрой вверх, 3) цифрой вверх и цифрой вниз и 4) оба раза цифрой вверх:

	- +
- -	+ -	+ +
0	1	2
Количество падений цифрой вверх

Рисунок 11.

При трех бросках возможны восемь случаев:

	3	3
	- - +	- + +
1	- + -	+ - +	1
- - -	+ - -	+ + -	+ + +
0	1	2	3
Количество падений цифрой вверх

Рисунок 12.

При четырех бросках возможны шестнадцать случаев:

		6
		- - + +
	4	- + - +	4
	- - - +	- + + -	- + + +
	- - + -	+ - - +	+ - + +
1	- + - -	+ - + -	+ + - +	1
- - - -	+ - - -	+ + - -	+ + + -	+ + + +
0	1	2	3	4
Количество падений цифрой вверх

Рисунок 13

и так далее.

Если в построенных таблицах не обращать внимания на последовательность падения монеты цифрой вверх или цифрой вниз, а только подсчитывать возможное число их появления в каждом случае, то найдем, что при одном бросании окажется возможным один случай цифрой вверх (+) и один случай цифрой вниз (-). Других вариантов быть не может. При двух бросаниях возможен один случай - ни разу цифрой вверх, два случая - один раз цифрой вверх и один случай - два раза цифрой вверх. Внизу таблицы проставлены цифры 0, 1, 2, 3, 4 - количество знаков плюс. Над каждым столбиком таблицы проставлены цифры, указывающие на количество возможных сочетаний минусов и плюсов. Кратко это можно записать:

при одном бросании

количество падений цифрой вверх 0 1 итого;

число возможных случаев 1 1 2;

при двух бросаниях

количество падений цифрой вверх 0 1 2 итого;

число возможных случаев 1 2 1 4;

при трех бросаниях

количество падений цифрой вверх 0 1 2 3 итого;

число возможных случаев 1 3 3 1 8;

при четырех бросаниях

количество падений цифрой вверх 0 1 2 3 4 итого;

число возможных случаев 1 4 6 4 1 16;

Эти количества возможных случаев можно получить из соответствующих диагоналей арифметического треугольника. Если сравнить числа четвертой диагонали арифметического треугольника, то увидим, что они совпадают с числами возможных случаев при четырех бросаниях монеты. Аналогичное совпадение с числами других диагоналей.

Итак, при одном бросании монета могла один раз не упасть цифрой вверх (0) или один раз упасть цифрой вверх (1), всего два возможных исхода одного бросания монеты.

При двух бросаниях монета могла ни разу не упасть цифрой вверх (0), - такой 1 случай; или при первом бросании или при втором - таких 2 случая или оба раза упасть цифрой вверх - такой 1 случай. Итого при двух бросаниях монеты возможны 4 разных сочетания.

При трех бросаниях монета может ни разу не упасть цифрой вверх в одном случае, один раз упасть цифрой вверх - три случая, два раза упасть цифрой вверх - три случая и три раза упасть цифрой вверх в одном случае. Всего возможных исходов 8.

При четырех бросаниях монеты может быть один случай - монета ни разу не упадет цифрой вверх, четыре случая - монета упадет один раз цифрой вверх; шесть случаев - монета упадет два раза цифрой вверх; четыре случая - монета упадет три раза цифрой вверх и один случай - монета упадет четыре раза цифрой вверх. Всего возможных сочетаний при четырех бросаниях 16. Очевидно, что такие подсчеты можно продолжать сколь угодно много. Но нет необходимости это делать.

Приведенных рядов достаточно для того, чтобы выявить закономерность изменения вероятности падения монеты цифрой вверх определенное число раз при изменении количества бросания монеты. Увеличение количества бросания монеты адекватно увеличению объема выборки. Вероятность падения монеты цифрой вверх определенное число раз может быть найдена путем деления числа случаев на итог ряда. Например, вероятность падения монеты цифрой вверх один раз при двукратном бросании будет равна 2/4, а два раза (равно как и ни разу) - 1/4.

Рассматривая результаты независимых испытаний, при каждом из которых вероятность падения монеты цифрой вверх равна 1/2, видим, что:

при двух бросаниях вероятность падения монеты цифрой вверх 2 раза, т.е. и при первом и при втором бросании, равна 1/4, или 1/2*1/2, т.е. равна произведению вероятностей при одном бросании;

при трех бросаниях вероятность появления цифры сверху три раза (и при первом, и при втором, и при третьем бросании монеты) равна 1/8, или 1/2*1/2*1/2, т.е. равна произведению вероятностей при одном бросании. На основании этого расчета можно утверждать, что вероятность нескольким независимым событиям появиться вместе (одновременно или последовательно) равна произведению их вероятностей. В этом состоит теорема умножения вероятностей.

На примере бросания монеты можно применить и рассмотренную ранее теорему сложения вероятностей. Посмотрим работу теоремы сложения вероятностей на примере трехкратного бросания монеты. Как сказано выше, монета может упасть цифрой вверх один раз или при первом бросании (+ - -), или при втором бросании (- + -), или при третьем бросании (- - +). Вероятность каждого из этих трех случаев равна, на основании теоремы умножения вероятностей, 1/8. Если не обращать внимания на очередность появления цифры сверху, то из всех возможных восьми случаев при трех испытаниях однократное выпадение цифры может быть при каждом из указанных трех исключающих друг друга или несовместимых случаев. Следовательно, вероятность однократного появления цифры сверху при трех бросаниях равна 3/8 или 1/8+1/8+1/8.

Обобщая, следует сказать, что вероятность появления одного из нескольких несовместимых событий без указания, какого именно, равна сумме вероятностей этих событий.

Наивероятнейшее число

Деление числа возможных случаев на соответствующий итог даст вероятности числа появлений события при данном числе испытаний. Число появлений события, которому соответствует наибольшая вероятность, называется наивероятнейшим числом. Например, при четырех испытаниях наивероятнейшим числом появления события является число 2, так как этому числу соответствует наибольшая вероятность 6/16, или 0,375. При восьми испытаниях наивероятнейшим числом является 4, которому соответствует вероятность 70/256, или 0,2734.

Более подробно о наивероятнейших числах по седьмой и десятой диагоналям арифметического треугольника показано ниже, таблицы 21 и 22.

Таблица 21 – При семи бросаниях монеты:

Количество падений монеты цифрой вверх:	0	1	2	3	4	5	6	7	Итого
Число всех возможных случаев	1	7	21	35	35	21	7	1	128
Вероятности падений монеты цифрой вверх	1/128 или 0,0078	7/128 или 0,0547	21/128 или 0,1641	35/128 или 0,2734	35/128 или 0,2734	21/128 или 0,1641	7/128 или 0,0547	1/128 или 0,0078	1

При нечетном числе бросания монеты наивероятнейших чисел два. При семи бросаниях это числа 3 и 4. Их вероятности равны между собой и числу 0,2734. Из таблицы следует, что при семи бросаниях монеты число возможных случаев, когда все семь раз монета упадет цифрой вниз, равно 1 из 128 всех случаев. Все семь раз цифрой вверх монета может упасть тоже один раз из 128. Таким образом, наименее вероятными случаями являются ноль раз и семь раз подряд падения монеты цифрой вверх.

Таблица 22 – При десяти бросаниях монеты:

Количество падений монеты цифрой вверх:	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	Итого
Число всех возможных случаев	1	10	45	120	210	252	210	120	45	10	1	1024
Вероятности падений монеты цифрой вверх	001	010	044	117	205	246	205	117	044	010	001	1,000

В приводимой выше таблице в числах вероятностей падения монеты цифрой вверх приведены только дробные части чисел (кроме вероятности для всех случаев вместе, которая равна 1,000), ноль целых опущен. При четном числе бросания монеты наивероятнейшее число одно. При десяти бросаниях это число 5. Его вероятность равна 0,246. Из таблицы следует, что при десяти бросаниях монеты число случаев, когда все десять раз монета упадет цифрой вниз, равно 1 из всех 1024 случаев. Все десять раз цифрой вверх монета может упасть тоже один раз из 1024. Таким образом, ноль раз и десять раз подряд падения монеты цифрой вверх являются наименее вероятными случаями.

Вероятность числа, лежащего в указанных пределах

При нормальном распределении наивероятнейшее число находится в центре ряда. Также в центре находится и среднее арифметическое значение. Найдя закономерности изменения вероятности числа, лежащего в определенных пределах отклонения от наивероятнейшего числа при бросании монеты, можно эти закономерности распространить и на природные переменные величины.

Применяя теорему сложения вероятностей можно определить искомую вероятность числа, лежащего в заданных пределах отклонения от наивероятнейшего события. Так, при четырех испытаниях вероятность того, что число падений монеты цифрой вверх будет не менее 1 и не более 3, (наивероятнейшее число 2) выразится отношением (4+6+4)/16, т.е. равно 0,875.

Таблица 23 – При четырех бросаниях монеты

Количество падений монеты цифрой вверх:	0	1	2	3	4	Итого
Число всех возможных случаев	1	4	6	4	1	16
Вероятности падений монеты цифрой вверх	1/16	4/16	6/16	4/16	1/16	16/16
Сумма вероятностей		4/16+6/16+4/16=14/16=0,875

При восьми бросаниях монеты вероятность того, что число падений монеты цифрой вверх будет не менее 2 и не более 6, (наивероятнейшее число 4) выразится отношением (28+56+70+56+28)/256 равно 0,93

Таблица 24 – При восьми бросаниях монеты

Количество падений цифрой вверх	0	1	2	3	4	5	6	7	8	Итого
Число всех возможных случаев	1	8	28	56	70	56	28	8	1	256
Вероятности падений монеты цифрой вверх	1/256 или .004	8/256 или .031	28/256 или .109	56/256 или .219	70/256 или .274	56/256 или .219	28/256 или .109	8/256 или .031	1/256 или .004	1
			Сумма вероятностей 0,93

Из рассмотренных примеров следует, что с увеличением количества бросаний монеты вероятность наивероятнейшего числа уменьшается, а сумма вероятностей событий, находящихся в тех же относительных пределах, увеличивается.

При четырех испытаниях (бросаниях монеты) вероятность того, что частость события окажется в пределах от ¼ до ¾ равна 0,875; при восьми испытаниях вероятность того, что частость окажется в тех же пределах (2/8 = ½ и 6/8=3/4), равна 0,93. Вероятность падения монеты цифрой вверх равна 0,5, указанные пределы ¼ и ¾ , 2/8 и 6/8 отклоняются от вероятности 0,5 на ±0,25.

Уменьшим пределы, в которых заключена разность между частостью и вероятностью события, с указанного выше ±0,25 до ±0,05 и рассмотрим, как будет изменяться вероятность того, что разность между вероятностью и частостью события не выйдет за пределы ±0,05, если увеличивать число испытаний до 20, 100 и 1000. Искомые вероятности легко найти из соответствующих диагоналей арифметического треугольника.

Таблица 25 – Числа арифметического треугольника при числе испытаний 10, 20, 100, 1000

(вероятности (р) отклонений (α) данного числа появлений события от наивероятнейшего числа,

Митропольский, стр. 22)

10		20		100		1000
ά	р	ά	р	ά	р	ά	р	ά	р	ά	р
-5	10	-8	2	0	796	0	252
-4	98	-7	11	±1	780	±1	252	±19	123	±37	16
-3	439	-6	46	±2	735	±2	250	±20	113	±38	14
-2	1172	-5	148	±3	666	±3	248	±21	104	±39	12
-1	2051	-4	370	±4	580	±4	244	±22	96	±40	10
0	2461	-3	739	±5	485	±5	240	±23	88	±41	9
+1	2051	-2	1201	±6	389	±6	235	±24	80	±42	7
+2	1172	-1	1602	±7	301	±7	229	±25	72	±43	6
+3	439	0	1762	±8	223	±8	222	±26	65	±44	5
+4	98	+1	1602	±9	159	±9	215	±27	59	±45	4
+5	10	+2	1201	±10	108	±10	207	±28	53	±46	4
		+3	739	±11	71	±11	198	±29	47	±47	3
		+4	370	±12	45	±12	189	±30	42	±48	3
		+5	148	±13	27	±13	180	±31	37	±49	2
		+6	46	±14	16	±14	171	±32	33	±50	2
		+7	11	±15	9	±15	161	±33	29	±51	1
		+8	2	±16	5	±16	151	±34	25	±52	1
				±17	2	±17	142	±35	22	±53	1
				±18	1	±18	132	±36	19	±54	1

При числе испытаний, равном 20, наивероятнейшее число равно 10, и вероятность того, что разность между частостью события и его вероятностью 0,5 не выйдет из пределов ±0,05, будет равна 0,1602+0,1762+0,602=0,4966.

При числе испытаний, равном 100, наивероятнейшее число равно 50, и вероятность того, что разность между частостью события и его вероятностью не выйдет из пределов ±0,05, равна:

0,0796+2*(0,0780+0,0735+0,0666+0,0580+0,0485)=0,73.

При числе испытаний, равном 1000, рассматриваемая вероятность отличается от 1 только на 0,0008, т.е. равна 0,9992.

Этот пример показывает, какой бы малой ни была назначена разность между частостью события и его вероятностью, всегда можно взять число испытаний достаточно большим числом для того, чтобы вероятность осуществления назначенной разности была как угодно близка к единице.

Применительно к лесоводственной информации рассуждения о частости и вероятности события можно свести к следующему. Например, заложили 100 пробных площадей, на каждой пробной площади обмерили диаметры 100 деревьев. Исходя из предположения о нормальном распределении выборочных средних арифметических диаметров, средний арифметический диаметр в генеральной совокупности является наивероятнейшим числом. Частость этого события может быть определена как отношение количества выборочных средних в интервале наивероятнейшего среднего арифметического диаметра, к общему числу выборок. При увеличении количества выборок частость приближается к вероятности, и какой бы малой ни была назначена разность между частостью и вероятностью, всегда можно взять число выборок достаточно большим числом для того, чтобы вероятность осуществления назначенной разности была как угодно близка к единице. Забегая вперед можно сказать, что путем увеличения объема выборки можно добиваться как угодно малой величины ошибки выборки для среднего арифметического значения диаметра.

При вероятности события 1/2 , достаточно большое число испытаний оказывается наибольшим. По мере приближения вероятности события к нулю и единице достаточно большое число испытаний уменьшается.

Теорема Бернулли

Простейший вид закона больших чисел называется теоремой Бернулли. Если имеется неограниченный ряд независимых испытаний, при каждом из которых вероятность некоторого события остается постоянной, то при достаточно большом числе этих испытаний будет сколь угодно близкой к достоверности вероятность того, что отношение числа появлений события к числу испытаний произвольно мало отличается от вероятности события при отдельном испытании.

Закон больших чисел имеет исключительно важное значение при научных исследованиях. На основании этого закона с любой вероятностью можно ожидать приближенное равенство между установленными из наблюдений частостями некоторых событий и их вероятностями. Можно по вероятности события судить о том, как часто событие будет повторяться, и обратно – по частости события заключать о вероятности его.

Отсюда следует, что для обеспечения возможности применения статистических методов к изучению тех или иных событий необходимо, чтобы наблюдения носили не единичный, а массовый характер.