2.1.5. Математическая модель вольт-амперной характеристики анодного тока электровакуумного диода с вольфрамовым като -дом, построенная на основе эмиссионного уравнения.
Логарифмические уравнения очень не просто решаются. Их приходиться решать на ЭВМ методом подбора. В основном все графические построения выполняются благодаря подпрограмме, способной подбирать решение. Поэтому, в данном случае, вместе с графиками будут приводиться листинги подпрограмм, обеспечивающие построение этих графиков.
Но если мы начинаем изменять температуру при измерении вольт-амперной характеристики вакуумного диода, то логарифмическое уравнение принимает более сложный – двухмерный вид. Такое уравнение и имеет вид эмиссионного уравнения. В общем случае эмиссионное уравнение записывается так:
y рез = exp( K1 ∙ ( K2 ∙ z - (x-x0) ∙ (z-z0)))
Для физики процесса : х – это напряжение, z – температура.
K1 и K2 - коэффициенты, регулирующие кривизну участка перехода между процессами. Общий вид эмиссионного уравнения:
y = A = F1(x0) - функция первого процесса
y = B = F2(z0) - функция второго процесса
y рез = exp( K1 ∙ (K2 ∙ z - (x-x0) ∙ (z-z0) ) ) (2.1.5.,01)
Эмиссионное (логарифмическое) уравнение (2.1.5.,01) является внешней функцией по отношению к функциям A и B. В результате эмиссионное уравнение выглядит так:
__ __
y рез = exp( K1 ∙ ( K2 ∙ z - (x - F1(x) ) ∙ (z – F2(z) ) )) (2.1.5.,02)
__ __
где F1(x) и F2(z) - это обратные функции, от первого и второго процесса. Для физики : х – это напряжение, z – температура.
Рассмотрим функцию теплового процесса:
F2 (TF) = Ia ;
Обратная функция теплового процесса ( от выражения (2.1.4.,02) ) будет иметь вид:
__
F2 (T) = TF = (Ln ( Ia) +27,325 ) / 1.047∙10-2 (2.1.5.,03);
Рассмотрим функцию электрического процесса:
F1 (UB) = Ia ;
Обратная функция электрического процесса (от выражения (2.1.4.,04) ) будет иметь вид:
__
F2 (UB) = UB = ( Ia / 9,215∙10-5) 2/3 (2.1.5.,04);
Составим эмиссионное уравнение.
y = A = F1 (Ua) = - функция первого процесса
y = B = F2 (T) - функция второго процесса
y рез = exp( K1 ∙ ( K2 ∙ T - (Ua - UB) ∙ (T - TF)))
Определим K1 как КT , определим K2 как UD. При создании математической модели, находим эмпирические коэффициенты KT и UD. Далее следует:
Ia = exp ( KT ∙ ( T∙ UD - ( T - TF ) ∙ (Ua - UB) ) ) (2.1.5.,05);
TF =(Ln ( Ia) +27,325 ) / 1,047∙10-2 ;
UB = ( Ia / 9,215∙10-5) 2/3 ;
где:
KT = 0,0956 Вольт-1 ∙ Кельвин-1;
UD = 0,01 Вольт;
T > TF .
KT и UD - коэффициенты, регулирующие кривизну участка перехода между процессами. TF и UB - обратные функции процессов A и B. На основе соотношения (2.1.5.,05), применяя подпрограмму двоичного поиска Midi, можно построить графики вольт-амперных и кельвин-амперных характеристик. На рисунке 2.10. представлен график семейства вольт-амперных характеристик при различных температурах катода.
Рис. 2.10. График, иллюстрирующий двухмерный процессовый переход для вольт-амперной характеристики эксперимента С. Дэшмана.
На рисунке 2.10. для процессов
Ia=A = F1(Ua) = 9,215∙10-5 ∙ Ua 3/2, и
Ia = B= F2(T) = exp( 1,047∙10-2 ∙ T - 27,325 ), построена функция
__ __
Ia рез = Ia = exp ( KT∙ ( T∙ UD - ( T - F2 (T) ) ∙ (Ua - F1(Ua) ) ) ),
с аргументом Ua при трёх температурах катода. Ось абсцисс отградуирована в Вольтах, ось ординат в Амперах.
Для построения графика на рисунке 2.10. использовалась подпрограмма двоичного поиска Midi2_012. текст подпрограммы приведён ниже.
procedure MidI2_012(x,z:real;var y:real;var c0:integer);
var
Ymax, Ymin, X0, E: real;
Kt,Ub,Ud,Uf,Tf:real;
A,B,C,D:real;
begin
c0:=0;
E:=0.000001;
Ymax:=exp( (z-0.01)*0.01047-27.325 ); // прямая функция для z
Ymin:=0;
Kt:=0.0956;
Ud:=0.01;
repeat
begin
y:=(Ymax+Ymin)/2;
Tf:= (Ln(y)+27.325)/ 0.01047; // обратная функция для z
Ub:= power( ( exp( Ln(y)) /9.216e-5) , (2/3));// обратная функция для x
Uf:=Ub+Ud;
if y<=0 then
begin
c0:=1; // код ошибки
break;
end;
A:=Ln(y);
B:=A/(-Kt);
C:=B+z*Ud;
D:=z-Tf;
if D=0 then
begin
c0:=2; // код ошибки
break;
end;
X0:=(C/D)+Ub; // поэтапное вычисление х ( или Ua )
if X0 > x then Ymax:=y else Ymin:=y;
end until (X0+E > x) and (X0-E < x);
end;
Та же подпрограмма - MidI2_012 - использовалась при построении графика на рисунке 2.11.
На рисунке 2.11. представлен график семейства кельвин-амперных характеристик при различных напряжениях на аноде.
Рис. 2.11. График, иллюстрирующий двухмерный процессовый переход в кельвин-амперных характеристиках эксперимента С, Дэшмана.
На рисунке 2.11. для процессов
Ia=A = F1(Ua) = 9,215∙10-5 ∙ Ua 3/2, и
Ia = B= F2(T) = exp( 1,047∙10-2 ∙ T - 27,325 ), построена функция
__ __
Ia рез = Ia = exp ( KT∙ ( T∙ UD - ( T - F2(T) ) ∙ (Ua - F1(Ua) ) ) ),
c аргументом T при 10-ти напряжениях на аноде. Ось абсцисс отградуирована в Кельвинах, ось ординат в Амперах.
На рисунке 2.12. изображена математическая модель для тока анода в эксперименте Дэшмана, реализованная по методу моделирования перехода процессов с эмиссионным уравнением в качестве внешней функции. Поверх точек математической модели построены точки экспериментальных данных.
Рис. 2.12. График, иллюстрирующий совпадение точек математической модели и экспериментальных данных.