5.3.2. Общий случай обратных связей.
5.3.2.1. Mатематическое определение обратных связей.
Дана функция:
y = F(x)
Введем в нее обратную связь:
y = F(x , y) = F(u) (5.3.2.,01)
В таком случае F(u) - неявная функция.
Это математическое определение функций с обратными связями.
Рассмотрим общий случай обратных связей.
5.3.2.2. Доказательство эквивалентности системы с оос как системы с переходом процессов.
Рассмотрим отрицательную обратную связь. Выразим её как 2 функции (2 процесса).
Здесь первоначально рассматривается не процессовый переход, а процессы обратной связи, но в дальнейшем, мы сможем обнаружить два процесса процессового перехода – в выражении (5.3.2.,10).
x - аргумент сигнала ( или аргумент прямой связи )
x0 – аргумент сигнала обратной связи ( или аргумент обратной связи )
у = F(x) = А – является функцией 1-го процесса. (5.3.2.,02)
у = F(x) = А – является внутренней функцией. ( см. главу 3.3. )
Функция у = F(x) = А – это функция прямой передачи.
у = F(x0) = B – является функцией 2-го процесса. (5.3.2.,03)
у = F(x0) = B – является внутренней функцией. ( см. главу 5.2.3. )
Функция у = F(x0) = B – это функция прямой передачи с аргументом обратной связи.
По сути x и x0 – это аргументы, но принадлежащие 2-м разным процессам. Для симметрии вводим y0 –это результирующее значение функции при воздействии на неё обратной связи. При решении задачи об ООС, как раз вычисляется y0.
Уравнение обратной связи выражается так:
y = F(x - x0) (5.3.2.,04)
Функция F(x) является функцией 1-го процесса, а также является и внешней функцией (см. главу 5.2.3.)
Выразим функцию обратной связи. Представим её как сложную функцию, по отношению к у = F(x). Функция обратной связи будет выглядеть так:
у = H( F(x0) ) (5.3.2.,05)
Начальные условия заданы. Теперь вычислим ООС.
Вычисляем x0 :
у = H( F(x0) ) (5.3.2.,05)
_
F(x0) = H(y)
_ _
x0 = F ( H ( y ) )
Из ( 4.05 ) находим уравнение для ООС:
_ _
y = F( x - F ( H ( y ) ) (5.3.2.,06)
Решение для уравнения ООС сводиться к нахождению x:
_ _
y = F( x - F ( H ( y ) )
_ _ _
F(y) = x - F ( H ( y ) ) (5.3.2.,07)
_ _ _
x = F(y) + F ( H ( y ) ) (5.3.2.,08)
Затем из условия у = F(x), получаем результирующее значение как y0.
_ _ _
y0.= F(x) = F( F(y) + F( H (y) ) ) (5.3.2.,09)
Функция прямой передачи: у = F(x)
и функция обратной передачи: у = F(x0)
взаимно обратимы.
Это означает, что блок-схему обратной связи можно построить так, как изображено на рис. 5.12.:
Рис. 5.12. Блок-схема системы с обратной связью. Внутри системы можно обнаружить процессовый переход. При этом одна из функций ( блок 2) будет внешней.
На рисунке 5.12.: блоки 1 и 5 - сумматоры; блоки 2 и 4 – функциональные усилители; блок 2 определяет функцию
y = F(x); б лок 4 определяет функцию
_ _
x0 = F ( H ( y ) );
Блок 3 – аналоговый инвертор;
x1 и y1 - промежуточные значения сигналов:
_ _ _
x1 = F(y) + F ( H ( y ) ) (5.3.2.,08)
у1 = H( F(x0) ) (5.3.2.,05).
От системы с обратной связью можно перейти к функции, которая моделирует переход от одного процесса к другому.
Функции, моделирующие переход между двумя процессами рассматриваются в главе 5.2.3. Это выражение выглядит так:
_
y ∙ (H(y))
y рез = ---------------------- (5.3.2.,10)
_ _ _
F( F(y) +F(H(y)))
или:
F(x) ∙ F(x0)
y рез = ----------------- (5.3.2.,11)
y0
Можно сравнить выражение (5.3.2.,10) с уравнением «весов»:
y = A = F1(x)
y = B = F2 (x)
__
yрез = A ∙B / F ( F( A) + F( B) ) (5.2.3.,02)