3.Тригонометрична і показникова форми комплексного числа

Крім алгебраїчної форми комплексного числа використовується так звана тригонометрична форма його запису. Позначимо через r модуль комплексного числа . Нехай . Тоді , , значить - запис комплексного числа називається тригонометричною формою цього числа.

Зручно користуватися також показниковою формою запису комплексного числа , що випливає з формул Ейлера:

, .

Наприклад, . При цьому, оскільки , то .

Алгебраїчні дії з комплексною показниковою функцією аналогічні діям із звичайною показниковою функцією . Нехай , , тоді їхній добуток дорівнює .

Виходить модуль добутку двох комплексних чисел дорівнює добутку їхніх модулів, а аргумент добутку дорівнює сумі аргументів.

; .

Наслідок. ; , і справедлива формула Муавра: , яка практично очевидна для показникової форми .

Частка двох комплексних чисел дорівнює .

Виходить, модуль частки двох комплексних чисел дорівнює частці їх модулів, а аргумент частки дорівнює різниці їх аргументів.

Приклад. Записати в алгебраїчній формі .

Розв`язання. , тоді

, по формулі Муавра

4.Добування кореня n-го степеня з комплексного числа

Існує точно n різних значень кореня n-го степеня з комплексного числа , які знаходяться за формулою , де

Приклад. Розв`язати рівняння .

Розв`язання.

Число -32 представимо у тригонометричної форми:

, маємо

Завдання для самостійної роботи

1. Знайти дійсні рішення рівняння

Відповідь: х=1, у=2

2. Обчислити: а) , б) , в) , г) ,

д) .

Відповідь: а) ; б) , в) , г) , д) .

3. Розв`язати рівняння: а) , б) , в) .

Відповідь: а) , б) , в) .

4. Знайти всі значення кореня: а) , б)

Відповідь:а) , б) .

§10.Розв`язання прикладних задач на додавання гармонійних коливань з однаковою частотою.

Такі функції як описують гармонічні коливання – рух проекції кульки, яка обертається, на вісь або коливання кінця пружини.

Розглянемо, як використовують тригонометричні функції для

описання коливальних процесів. Нехай на колі радіуса А

рухається точка зі сталою кутовою швидкістю ,

т обто за одиницю часу точка повертається на кут рад. у D

З а одиниць часу ця точка повернеться на кут рад.

M

T TTTTTTTTT ۪۪

C В х

F

У початковий момент часу точка займає положення , кут дорівнює рад. У момент точка займає положення М, кут дорівнює рад, рад.

Позначимо через і проекції точки М на осі х і у відповідно. Під час руху точки М по колу її проекція на вісь коливається вздовж горизонтального діаметра завдовжки , досягаючи то крайнього правого положення , то крайнього лівого положення С.

Аналогічно її проекція на вісь коливається вздовж вертикального діаметра , теж досягаючи то найвищого положення , то найнижчого положення . Встановимо закон руху точок та .

Побудуємо одиничне коло з центром у точці О і позначимо через Т точку перетину ОМ з цим колом. Координати точки дорівнюють і , а тому координати точки М визначаються формулами: , . Ці формули описують відхилення точок і від положення рівноваги. Вони задають закони руху точок і , які називаються гармонійними коливаннями.

Коливальні рухи широко розповсюджені в навколишньому середовищі. Уяву про них дають і океанські хвилі, і маятникові годинники, і гойдалки, і нервові імпульси. З ними пов`язане поширення звуку і світла. Багато з цих явищ можна описати за допомогою гармонійних коливань.

Введемо деякі поняття, пов`язані з гармонійними коливаннями. Точку - середину відрізка, вздовж якого проходить гармонійне коливання, - називають положенням рівноваги, число - амплітудою коливання. Амплітуда характеризує величину найбільшого відхилення від положення рівноваги, або розмах коливання.

Число , як відомо, є кутовою швидкістю обертання точки. За одиниць часу точка повернеться на кут рад, при цьому її проекція на вісь чи вісь виконає повних коливань. Число , тобто кількість повних коливань одиниць часу, називається кутовою частотою коливань.

Число , яке характеризує початкове положення точки на колі, називається початковою фазою.

Раніше було розглянуто побудову графіка гармонійного коливання .

Функцію можна дістати з заміною на .Час , протягом якого точка робить повний оберт, називається періодом гармонійного коливання. Протягом цього періоду проекція точки на вісь двічі пройде всі свої можливі положення і повернеться в початкове положення. Винятком є лише граничні положення і С, кожне з яких точка пройде один раз.

Як відомо, за одиниць часу точка робить повних коливань. Одне повне коливання вона робить за одиниць часу, тобто .

Можна показати, що період гармонійного коливання збігається з періодом функції .

Приклад. Знайти найменший додатний період функції . Областю визначення даної функції є числова вісь. Числа , - періоди для функції :

.

Якщо - довільний додатний період для при кожному , то беручи , дістанемо , або . Проте синус дорівнює одиниці лише при . Тому .

Серед чисел найменшим додатним є число , тобто найменший додатний період функції дорівнює .

Нерідко виникає необхідність додавання гармонійних коливань. У механіці це може бути викликано дією на точку кількох сил, кожна з яких утворює гармонійні коливання. В електротехніці це може знадобитись, наприклад, при приєднанні до електричної мережі кількох генераторів змінного струму. Сума двох гармонійних коливань описує, взагалі кажучи, досить складні коливальні рухи. Однак при додаванні двох гармонійних коливань однієї і тієї самої частоти знову виникає гармонійне коливання тієї самої частоти.

Доведемо це, тобто покажемо, що сума двох функцій і є функція такого самого виду: .

Маємо + =

.

Позначивши коефіцієнти при і відповідно через і , дістанемо

+ .

Цей вираз схожий на формулу синуса суми. Однак числа і не можна вважати такими, що дорівнюють значенням косинуса і синуса деякого кута. Поділимо і помножимо праву частину останньої рівності на :

. Позначимо через і введемо допоміжний кут за допомогою співвідношень ; . Такий кут існує внаслідок того, що

; ; .

Тоді + = , що і потрібно було довести. Фактично доведено, що функцію можна записати у вигляді .

Приклад. Знайти суму гармонійних коливань , .

Тут ;

Амплітуда суми коливань дорівнює 4, а початкова фаза .

Завдання для самостійної роботи

1. За даними простими гармонічними коливаннями знайдіть амплітуду і початкову фазу їхньої суми: .

Відповідь: 13; 1,18

2. Зведіть до вигляду вираз: .

Відповідь:

3. Знайти суму гармонічних коливань:

а) і ;

б) і

.Відповідь: а) ; б) .

Частина друга

Розділ І Основи математичного аналізу