Тема V. Диференціальні рівняння

§11. Розв’язання диференціальних рівнянь з відокремлюваними змінними, розв’язання неповних диференціальних рівнянь.

1. Основні поняття

При вивчанні різних явищ природи дуже рідко вдається знайти закон, який встановлює залежність між шуканими величинами. Проте в багатьох випадках є можливість встановити залежність між величинами та їх похідними або диференціалами.

При цьому одержуються рівняння, в яких шукана функція знаходиться під знаком похідної або диференціала.

Диференціальним рівнянням називається рівняння, яке пов`язує між собою незалежну змінну х, шукану функцію у та її похідні або диференціали.

Символічно диференціальні рівняння записують так: , , =0.

Диференціальне рівняння називається звичайним, якщо шукана функція залежить від одного незалежного змінного.

Порядком диференціального рівняння називається порядок старшої похідної (або диференціала), яка входить в дане рівняння.

Розв`язком (або інтегралом) диференціального рівняння називається така функція, яка перетворює це рівняння в тотожність.

Загальним розв`язком ( або загальним інтегралом) диференціального рівняння називається такий розв`язок, до якого входить стільки незалежних довільних сталих, який порядок рівняння. Так, загальний розв`язок диференціального рівняння першого порядку має одну довільну сталу.

Частинним розв`язком диференціального рівняння називається розв`язок, знайдений із загального при різних числових значеннях довільних сталих. Значення довільних сталих знаходять при певних початкових значеннях аргументу і функції.

Задача знаходження частинного розв’язку диференціального рівняння називається задачею Коши.

Графік частинного розв`язку диференціального рівняння називається інтегральною кривою.

Загальному розв`язку диференціального рівняння відповідає сукупність (сім`я) всіх інтегральних кривих.

Диференціальним рівнянням першого порядку називається рівняння, до якого входять похідні (або диференціали) не вище як першого порядку.

Диференціальним рівнянням з відокремлюваними змінними називається рівняння вигляду: .

Щоб розв`язати це рівняння, треба спочатку відокремити змінні: , а потім проінтегрувати обидві частини знайденої рівності: .

Приклад 1. Знайти загальний розв`язок рівняння .

Розв`язання. Відокремивши змінні, маємо . Інтегруємо обидві частини цього рівняння:

.

Оскільки довільна стала С може набувати будь-яких числових значень, то для зручності дальших перетворень замість С ми написали .

, або .

Це і є загальний розв`язок даного рівняння.

Приклад 2. Розглянемо рівняння , після відокремлення змінних матимемо . Інтегруючи, знаходимо загальний інтеграл .

Приклад 3. Знайти частинний розв`язок рівняння , який задовольняє початкові умови при .

Розв`язання. Відокремивши змінні, маємо . Проінтегруємо обидві частини цього рівняння: або . Це – загальний розв`язок даного рівняння. Щоб знайти значення довільної сталої С, підставимо значення і у вираз для загального розв`язку: . Отже, шуканий частинний розв`язок, який задовольняє початковим умовам, має вигляд .

2. Неповні диференціальні рівняння другого порядку.

Рівняння, яке має похідні (або диференціали) не вище другого порядку, називається диференціальним рівнянням другого порядку. У загальному вигляді рівняння другого порядку записують так: .

Загальний розв`язок диференціальним рівнянням другого порядку має дві довільні сталі. Спосіб розв’язання: заміна

Розглянемо на прикладах неповні диференціальні рівняння другого порядку.

Приклад 1. Знайти загальний розв`язок рівняння

Розв`язання. Це – неповне диференціальне рівняння другого порядку вигляду . Припустимо, що ; тоді дане рівняння можна записати у вигляді: , тобто , звідки . Інтегруючи останню рівність, дістанемо , тобто . Отже, , тобто . Знову інтегруючи, знаходимо , або . Це і є загальний розв`язок даного рівняння.

Приклад 2. Знайти частинний розв`язок рівняння , якщо і при .

Розв`язання. Припустивши, що , перепишемо дане рівняння у вигляді , звідки дістаємо: , , . Таким чином, (2) , тобто . Інтегруючи, знаходимо загальний розв`язок даного рівняння: (1) . Знайдемо тепер частинний розв`язок рівняння , підставляючи в рівності (1) і (2) початкові дані, дістанемо систему рівнянь , тобто , . Отже, шуканий частинний розв`язок має вигляд .

Приклад 3. Знайти частинний розв`язок рівняння , якщо і при .

Розв`язання. Це – неповне диференціальне рівняння другого порядку вигляду . Припустимо, що ; і, дане рівняння має вигляд: . Відокремивши в цьому рівнянні змінні та інтегруючи, дістанемо: . Отже, (3), тобто . Інтегруючи, знаходимо загальний розв`язок даного рівняння: (4) . Щоб знайти шуканий частинний розв`язок, підставимо у співвідношення (3), (4) початкові дані: або , звідки . Отже, шуканий частинний розв`язок має вигляд .

Приклад 4 . Знайти частинний розв`язок рівняння: , якщо і при .

Розв`язання. Це – неповне диференціальне рівняння другого порядку вигляду: . Припустимо, що ; тоді . Підставивши вирази для і в дане рівняння, дістанемо .Відокремивши змінні та про інтегрувавши, маємо: ; , . Звідки . Отже, . Тепер можна знайти загальний розв`язок рівняння : . Щоб знайти шуканий частинний розв`язок, підставимо у співвідношення початкові дані: , звідки і . Отже, шуканий частинний розв`язок має вигляд .

Вправи для самостійного виконання:

1.Знайдіть загальні розв’язки рівнянь: а) ;

б) ;

в) .

2. Знайдіть частинні розв`язки рівнянь, які б задовольняли вказаним початковим умовам:

а) , у=4 при х=0;

б) , у=1 при х=1

3. Знайдіть частинні розв`язки рівнянь, які б задовольняли вказаним початковим умовам:

а) ; s=4 i при t=0;

б) , якщо у=6 і при х=2.

Відповідь: 1.а) ; б) ; в) ;

2). ; б) ;

3. а) ; б) .