§4. Розв`язання нескладних прикладних задач на знаходження найбільшого й найменшого значень реальних величин.

Зупинимося на питанні про відшукання найменшого й найбільшого значень функції , неперервної на відрізку . За теоремою: якщо функція неперервна на замкненому проміжку , то вона набуває на цьому проміжку принаймні один раз своєї найбільшої і своєї найменшої величини.; така функція обов`язково набуде цих значень у деяких точках . Це можуть бути як внутрішні точки відрізка, так і його кінці.

Отже, для відшукання найменшого (найбільшого) значення неперервної на відрізку функції потрібно знайти її локальні екстремуми на і порівняти їх із значеннями і . Найменше (найбільше) із цих значень і буде найменшим (найбільшим) значенням функції на відрізку .

Може статися, що функція на зовсім не має точок екстремуму. В цьому випадку її найменше (найбільше) значення буде серед значень і .

При практичній роботі слід мати на увазі, що оскільки найменше (найбільше) значення досягається в критичних точках або на кінцях відрізку, то не потрібно перевіряти умови наявності екстремуму функції у критичних точках. Досить лише знайти значення функції в усіх критичних точках і порівняти їх із значеннями , . Найменше (найбільше) з них і буде найменшим (найбільшим) значенням функції на відрізку .

Приклад 1. Сума двох додатних чисел дорівнює а. Які мають бути ці числа, щоб їх добуток був найбільшим?

Розв`язання. Нехай один з доданків дорівнює х; тоді другий доданок дорівнює а-х. позначивши добуток цих доданків через у, маємо або .

Дослідимо цю функцію на максимум і мінімум за допомогою другої похідної: ; , ; .

Друга похідна від`ємна, отже, при функція має максимум. Таким чином, число а треба поділити пополам, тоді добуток цих доданків буде найбільшим..

Приклад 2. З усіх прямокутників даного периметра знайти той, у якого площа найбільша.

Розв`язання. Нехай периметр прямокутника дорівнює р. Позначимо довжину однієї з сторін прямокутника через х, тоді довжина другої сторони дорівнює . Позначивши площу прямокутника через у, маємо .

Дослідимо функцію на максимум і мінімум за допомогою другої похідної: , ; .

Друга похідна від`ємна, отже, функція має максимум при . Таким чином, з усіх прямокутників даного периметра найбільшу площу має квадрат.

Приклад 3. Відомо, що опір балки на стиск пропорційний площі перерізу. З круглої балки, діаметр якої , треба вирізати балку прямокутного перерізу так, щоб опір на стиск був найбільшим.

Розв`язання. Нехай х – довжина однієї з сторін прямокутника, тоді довжина другої сторони дорівнює . Площа перерізу становить . Позначивши опір балки на стиск через р, а сталий коефіцієнт пропорційності через k, дістанемо . Дослідимо цю функцію на екстремум за допомогою першої похідної: ; при . Оскільки в проміжку і в проміжку , то функція при має максимум. Довжини сторін прямокутника становлять і , тобто в перерізі має бути квадрат з стороною .

Приклад 4. На якій висоті треба підвісити ліхтар над центром кругової площадки, радіус якої , щоб площадка була максимально освітлена біля її межі?

Розв`язання. З курсу фізики відомо, що освітленість Е обернено пропорційна квадрату відстані від джерела світла і прямо пропорційна косинусу кута падіння (кута, утвореного нормаллю до поверхні з напрямом світлового потоку), тобто , де k залежить від сили джерела світла, розміщеного в точці А. А

З кутника ОАВ маємо: і .

Взявши за незалежну змінну, дістанемо: h r

.

О a В

Дослідимо функцію на екстремум за допомогою першої похідної:

. Оскільки в проміжку і в проміжку , то при функція має максимум, тобто при значенні освітленість у точці В буде найбільшою.

Приклад 5. Закон прямолінійного руху тіла задано рівнянням . Знайти максимальну швидкість руху тіла (s – в метрах, t – в секундах).

Розв`язання. Швидкість руху тіла є перша похідна від шляху за часом : . Дослідимо цю функцію на максимум і мінімум за допомогою другої похідної: ; . Друга похідна від`ємна, отже швидкість є найбільшою при : (м/с).

Вправи для самостійного виконання:

1. Розбити число 24 на два доданки, добуток яких є найбільшим.

2. З куска дроту 50см завдовжки зігнути прямокутник, який має найбільшу площу

3. Відомо, що опір горизонтальної балки на згин пропорційний добутку ширини перерізу на квадрат висоти. З круглої колоди, діаметр якої d, треба вирізати балку прямокутного перерізу так, щоб опір на згин у горизонтальному положенні був найбільшим.

4. Канали 27см і 64см завширшки побудовано піл прямим кутом один до одного. Яку найбільшу довжину може мати судно, щоб вийти з одного каналу в другий?

5. Закон прямолінійного руху тіла задано рівнянням . Знайдіть максимальну швидкість руху тіла.

Відповідь: 1) 12 і 12;

2. квадрат з стороною 12,5см

3. сторони прямокутника дорівнюють і

4. 125м

5. 12м/с

Тема ІІІ. Інтеграл і його застосування