§20. Розв’язання систем лінійних рівнянь за методом Гаусса, по правилу Крамера, методом оберненої матриці.

Розглянемо деякі методи розв’язання систем трьох лінійних рівнянь з трьома невідомими, для чого розглянемо систему:

(1)

Треба перевірити, чи має вона розв’язок, а якщо так, то знайти його. Одним із способів розв’язання цієї системи є правило Крамера:

Якщо головний визначник (детермінант) системи , то система має єдиний розв’язок, який знаходиться за правилом:

Головний визначник (детермінант) системи в нашому випадку є визначник третього порядку, який утворений із коефіцієнтів при невідомих, тобто

.

Щоб одержати визначники та треба замінити в головному визначнику відповідно стовпець коефіцієнтів при невідомому на стовпець вільних членів

Якщо то можливі два випадки (при умові, що не всі тобто система неоднорідна):

1. – то система має безліч розв’язків або не має жодного розв’язку;

2. хоча б один із детермінантів не дорівнює нулю – то система несумісна, тобто не має жодного розв’язку.

Приклад

Розв’язати систему лінійних алгебраїчних рівнянь за правилом Крамера.

.

Розв’язання.

Спочатку запишемо та обчислимо головний визначник системи:

Система має єдиний розв’язок. Обчислимо та

,

,

.

За правилом Крамера знаходимо розв’язок системи:

Відповідь:

Розглянемо ще один із методів розв’язання систем лінійних алгебраїчних рівнянь – метод Гаусса або метод послідовних виключень невідомих.

Метод Гаусса полягає в тому, що за допомогою так званих еквівалентних перетворень система (1) перетворюється в еквівалентну систему, яка має трикутний вигляд

.

Продемонструємо це перетворення на прикладі.

Приклад

Розв’язати систему лінійних рівнянь за методом Гаусса

Розв’язання

Поділимо перше рівняння системи на а далі виключимо невідоме , із другого та третього рівнянь

поділимо друге рівняння системи на та виключимо невідоме з третього рівняння

.

Систему лінійних рівнянь привели до трикутного вигляду, закінчився прямий хід методу Гаусса, а далі розв’язуємо систему з кінця, тобто з третього рівняння . Підставимо значення в друге рівняння і одержимо . З першого рівняння знайдемо .

Відповідь: Зробимо перевірку:

.

Примітка

метод Гаусса можна застосовувати і для випадку, коли число рівнянь не дорівнює числу невідомих, а також коли

Матричний метод розв’язання систем лінійних алгебраїчних рівнянь

Систему (1) можна записати у вигляді матричного рівняння: де матриця утворена із коефіцієнтів при невідомих

матриця – матриця-стовпець із невідомих та матриця – теж матриця-стовпець із вільних членів системи.

Помножимо матричне рівняння системи зліва на

Звідси матриця невідомих

,

де – обернена до матриці A, тобто їх добуток ( – одинична матриця).

Отже, виходить, що для того, щоб знайти розв’язок системи (1), треба побудувати обернену матрицю і помножити її на матрицю .

Приклад

Знайти розв’язок системи лінійних алгебраїчних рівнянь матричним методом

.

Розв’язання

Запишемо цю систему у вигляді матричного рівняння

де

Отже, рівняння має вигляд

.

Матрицю невідомих знайдемо за формулою , де матриця обчислена раніше (дивись конспект лекцій)Error: Reference source not found і дорівнює

Тоді

Отже розв’язок системи:

Завдання для самостійної роботи

1. Розв’язати систему рівнянь за правилом Крамера:

Відповідь:

2. Розв’язати систему рівнянь методом Гаусса:

Відповідь: (-1;3;1).

3. Розв’язати систему рівнянь матричним методом:

Відповідь: (2;0;-1).

Перелік літератури

1. Шкіль М.І., Слєпкань З.І., Дубинчук О. С. Алгебра і початки аналізу. 10-11 клас.- К.; Зодіак- ЕКО, 2001.

2. Яковлев Г. Н. Алгебра и начала анализа. Математика для техникумов. Часть 1.-М.: Наука, 1987.

3. Яковлев Г. Н. Алгебра и начала анализа. Математика для техникумов. Часть II.-М.: Наука, 1987.

4. Бевз Г.П., Бевз В.Г., Владіміров В.М., Владімірова Г.Г. Геометрія. Підручник для учнів 10-11 класів з поглибленим вивченням математики в середніх загальноосвітніх закладах.- К.: Освіта, 2000.

5. Богомолов Н.В. Практическое занятие по математике. – М.: Высш. шк., 1979, 1983, 1990.

6. Шкіль М.І. та ін. Вища математика: Підручник: У 3 кн.: Кн. Аналітична геометрія з елементами алгебри. Вступ до математичного аналізу. К: Либідь , 2003 -с.280.

7.Шкіль М.І., Колесник Т.В. Вища математика: Підручник: У 3 кн.: Кн. 2. Диференційне та інтегральне числення функцій однієї змінної

8.Зельдович Я.Б., Яглом И.М. Высшая математика для начинающих физиков и математиков. - М.: Наука, 1982

9.Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях й задачах. - М.: Высш. шк., 1986 - ч.І.- с.304 ч.2. -с. 415

10.Шипачев В.С. Высшая математика. - М.: Высш.шк., 1985 - с.475

*⁾ Якщо хоча б одна з цих границь не існує, то графік не має похилої асимптоти на відповідному кінці осі.

150