§8. Застосування інтегрального числення для розв’язку задач, пов’язаних з обчисленням кількості електрики за силою струму та сили тиску рідини

З курсу фізики відомо, як знаходити роботу сталої сили, силу тиску рідини на горизонтально розміщену в ній пластинку, масу однорідного стержня і т.п. Методи інтегрального числення дають змогу знаходити ці фізичні величини у більш складних випадках.

Кількість електрики. Хай по провідникові тече струм змінної сили , де . Знайдіть кількість електрики , що протекла через поперечний перетин провідника за проміжок часу . Відомо, що для постійного струму

.

Для визначення в разі змінного струму поступимо згідно загальної схеми. Виділимо елементарний відрізок часу і підрахуємо відповідний "елемент" кількості електрики . Очевидно .

Далі, інтегруючи по в межах від до , отримаємо .

Зауваження. Якщо функція на відрізку міняє знак (напрям струму міняється протягом даного часу), то інтеграл дає різниця між кількістю електрики, що пройшла через поперечний переріз провідника за час в один бік, і кількістю електрики, що пройшла за той же час в протилежну сторону.

Задача1(кількість електрики).

При зміні температури опір металевих провідників змінюється (при звичайних температурах) згідно із законом , де - опір при і - температура за Цельсієм. (Цей закон справедливий для більшості чистих металів). Провідник, опір якого при дорівнює =10ом , рівномірно нагрівається від до протягом 10хв. У цей час по ньому йде струм під напругою в. Скільки кулонів електрики протече за цей час через провідник?

Розв’язання.

За умовою задачі, температура провідника збільшується з постійною швидкістю

,

а значить , змінюється за законом . При цьому опір провідника

і сила струму (за законом Ома) .

Проінтегрувавши цю функцію на проміжку , отримаємо шукану кількість електрики .

Задача 2. (сила тиску рідини) Пластинка ABCD занурена вертикально в рідину, щільність якої . Знайти силу тиску рідини на цю пластинку.

Згідно розв'язування задачі скористаємось

такими відомими з фізики фактами:

0 Рівень рідини у 1. згідно із законом Паскаля тиск у рідині

передається однаково в усіх напрямах.

А B 2. якщо пластинка, площа якої S,

A ¹ міститься в горизонтальному положенні

на глибині h, то сила тиску рідини на неї

D дорівнює вазі стовпа рідини з основою S

і висотою h , тобто ,

де g – прискорення вільного падіння.

D C

Якщо пластинка занурена в рідину вертикально, то використовувати наведену вище формулу для обчислення сили тиску не можна, оскільки тиск рідини істотно змінюється зі зміною глибини.

Позначимо через довжину поперечного перерізу пластинки на глибині , а через - силу тиску на верхню частину пластинки . На глибині виділимо тонку смугу . Сила тиску на неї дорівнює . Якщо малий, то цю смугу можна наближено вважати прямокутником з основою і вистою . Тиск на всі частини цього прямокутника можна вважати однаковим і згідно з формулою . Якщо переходять від нерівномірних процесів до рівномірних, то приріст функції, як відомо, замінюють її диференціалом, тобто . Звідси .

Задача 3. Резервуар, що має форму прямокутного паралелепіпеда з основою і заввишки , наповнено рідиною, щільність якої . Яку потрібно виконати роботу, щоб відкачати всю рідину з резервуара?

Якщо тіло масою підняти на деяку висоту h, то виконану при цьому роботу неважко обчислити. Вона дорівнює добутку ваги тіла на висоту: .

Однак роботу по відкачуванню рідини не можна обчислювати за допомогою цієї формули, оскільки рідина піднімається не вся разом, а шарами, причому висота піднімання у різних шарів рідини різна.

Для розв'язування цієї задачі виділимо елементарний шар рідини на глибині завтовшки . Його об'єм дорівнює , а маса - .

Позначимо через роботу по відкачуванню верхнього шару рідини завтовшки . Тоді робота по відкачуванню елементарного шару рідини дорівнює . Тому і .

Вправи для самостійного виконання:

1. Обчисліть силу тиску води на вертикальну прямокутну стінку з основою 2м і висотою 4м. рівень води збігається з верхнім обрізом стінки.

2. Обчисліть силу тиску води на вертикальну стінку, яка має форму рівнобедреної трапеції. Верхня основа трапеції, яка збігається з рівнем води, дорівнює 4,5м, а нижня основа дорівнює 3м; висота стінки 2м.

3. Сила струму в провіднику змінюється з часом за законом , де виражено в амперах і в сек. Знайти: 1) яка кількість електрики проходить через поперечний переріз провідника за час від до , 2) при якій силі постійного струму через поперечний переріз провідника за цей же час проходить таку ж кількість електрики?

Відповідь: 1)156912 Н; 2)68649 Н; 3.1)123 к, 3.2)41 а

Тема ІV. Комплексні числа