§18. Рівняння прямих. Відстань від точки до прямої. Пряма лінія на площині

І снують такі форми запису рівняння прямої:

1. – рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом;

де – кутовий коефіцієнт,

– відрізок, який пряма відтинає на осі .

2. – рівняння прямої, яка проходить через задану точку під заданим кутом до осі ( ).

3. – рівняння прямої, яка проходить через дві задані точки та .

4. – рівняння прямої у відрізках на осях, де та – величини відрізків, які пряма відтинає на осях координат.

5. – канонічне рівняння прямої, де – напрямний вектор прямої, тобто вектор паралельний прямій ( ), точка .

6. – рівняння прямої, яка проходить через точку перпендикулярно до вектора . Вектор називається нормальним вектором прямої.

7. – загальне рівняння прямої, де – нормальний вектор прямої ( ).

Відстань від точки до прямої обчислюється за формулою   .

Розташування двох прямих на площині

Умови паралельності двох прямих:

1) ;

2. ;

2. ;

Умови перпендикулярності двох прямих:

1. ;

Кут між двома прямими:

1. ;

3)

Приклад

Відомі координати вершин трикутника . Обчислити:

1. довжину сторони ;

2. рівняння прямої ;

3. рівняння висоти на сторону ;

4. довжину висоти ;

5. рівняння медіани ;

6. точку перетину висоти і медіани ;

7. кут між прямими і ;

8. накреслити рисунок.

Розв’язання

1. О бчислимо довжину сторони за формулою :

 (од.)

2. Запишемо рівняння прямої за формулою

:

,

.

3. .

Запишемо рівняння висоти за формулою

,

де координати точки , та – координати вектора, перпендикулярного до , тобто :

або – .

4. Обчислимо довжину висоти за формулою

:

(од.).

5. Обчислимо координати точки – середини відрізку

.

6. Запишемо рівняння медіани за формулою

:

– .

7. Визначимо точку перетину висоти і медіани , розв’язуючи систему, складену з рівнянь цих прямих:

точка .

8. Обчислимо кут між прямими і :

,

,

Завдання для самостійної роботи

Задано координати вершин трикутника . Знайти :

а) рівняння прямої , яка паралельна ;

б) рівняння медіани ;

в) рівняння висоти ;

г) кут між прямими і .

Відповідь: а) ; б) ; в) ; г) .

§19. Розв’язання задач на криві другого порядку Криві другого порядку можуть бути задані рівнянням

Ах² + 2Вху + Су² + 2Dx + 2Ey + F = 0.

Розглянемо так звані канонічні рівняння ліній (кривих) другого порядку:

а) еліпс: , тут і – піввісі еліпса, > 0, > 0. Точки і – фокуси еліпса.

– фокальна відстань;

– зв’язок між параметрами ;

– ексцентриситет еліпса ( ).

б) гіпербола: , тут і – відповідно дійсна та уявна піввісі;

точки та – фокуси гіперболи;

– відстань між фокусами;

– зв’язок між параметрами ;

– ексцентриситет > ;

– рівняння асимптот.

в ) парабола: ;

— фокус;

– рівняння директриси;

– ексцентриситет.

Як правило, щоб побудувати лінію, її спочатку зводять до канонічного вигляду. Коло є частинним випадком еліпса, в якого піввісі однакові . Часто використовують так зване нормальне рівняння кола.

г ) коло: ,

тут точка – центр кола,

– його радіус;

Приклад

Привести рівняння лінії до канонічного вигляду та зробити рисунок лінії

.

Приведемо рівняння лінії до канонічного вигляду, вилучивши повні квадрати

– це коло, центр якого знаходиться в точці і радіус якого дорівнює .

Залишилось зробити рисунок.

Приклад. Скласти рівняння еліпса, фокуси якого лежать у точках і , а ексцентриситет .

З умови маємо: . Підставивши в цю рівність значення с , дістанемо . За формулою знайдемо .

Отже, шукане рівняння має вигляд: .

Приклад. Знайти вершини, фокуси, ексцентриситет і асимптоти гіперболи .

Рівняння цієї гіперболи має вигляд: , тобто фокуси її лежать на осі Оу. З рівняння дістанемо: і . Вершини гіперболи лежать у точках і . За формулою маємо , ; отже, фокусами є точки і .

Ексцентриситет обчислимо за формулою . Асимптоти гіперболи знайдемо за формулою , .

Приклад. Дано рівняння параболи . Скласти рівняння її директриси.

З рівняння параболи маємо . Отже, рівняння директриси , або .

Завдання для самостійної роботи

1. Скласти рівняння радіуса, проведеного в точку

кола .

Відповідь: .

2. Скласти рівняння еліпса з фокусами на осі Ох , якщо він проходить через точки і .

Відповідь: .

3. Скласти рівняння гіперболи за координатами її фокусів і і ексцентриситетом .

Відповідь: .

4. Скласти рівняння параболи з вершиною в початку координат, якщо її директрисою є пряма .

Відповідь: .