§9. Перехід від однієї форми комплексного числа до інших

1.Комплексні числа

Відомо, що квадратне рівняння не має дійсних коренів, якщо його дискримінант менше нуля, наприклад, не має їх найпростіше рівняння , тому що не визначений. Введемо уявну одиницю – число , що задовольняє умову або .

Тепер можна добути корінь із будь-якого від`ємного числа, наприклад, .

Комплексним числом називається вираз , де x i y – дійсні (реальні) числа. Число х називається дійсною частиною z і позначається , а число у – уявною частиною і позначається =у (позначення походять від латинських слів realis - дійсний та imaginarius – уявний).

Наприклад, Imz=-3; =4; z=5 Rez=5, Imz=0.

Множину дійсних чисел можна розглядати як підмножину комплексних чисел, у яких Imz=0.

Комплексне число зображують на координатній площині Оху точкою з координатами . Ця площина називається комплексною площиною С, вісь Ох називається дійсною віссю, а вісь Оу – уявною віссю. Таким чином, дійсному числу відповідає точка на дійсній осі, а уявному числу - точка на уявній осі.

Можна також зображувати комплексне число у вигляді радіус-вектора і визначати його, задаючи його довжину r і кут між віссю Ох і вектором. Довжина цього вектора називається модулем комплексного числа , а кут називається аргументом комплексного числа і позначається Argz. Аргумент визначається з точністю до доданка і для додатних значень відлічується від осі Ох до вектора проти годинникової стрілки, а для від`ємних значень – за годинниковою стрілкою. Значення аргументу, що належать інтервалу , називається головним значенням аргументу і позначається argz . головне значення аргументу числа можна

о бчислювати за формулою у

x

Наприклад, чверті, ,

Argz= .

Два комплексних числа і вважаються рівними тоді і тільки тоді, коли рівні відповідно їх дійсні та уявні частини, тобто вони зображуються однією точкою, а значить, у них рівні відповідно аргументи та модулі.

Два числа і називаються комплексно спряженими, якщо вони відрізняються знаком уявної частини. Наприклад, і . Зрозуміло, що комплексно спряжені числа зображуються на комплексній площині точками симетричними відносно дійсної осі. Наприклад, квадратне рівняння має один або два дійсних кореня (якщо його дискримінант ) або два комплексно спряжених кореня (якщо D<0), що знаходяться за відомою формулою.

Приклад. Знайти корені квадратного рівняння .

Розв`язання. ,

.

2. Дії над комплексними числами

1. Додавання і віднімання комплексних чисел проводиться за правилом:

.

Наприклад, ,

.

2. Множення комплексних чисел проводиться за звичними правилами множення многочленів, враховуючи, що :

. Наприклад, .

.

Добуток двох комплексно спряжених чисел дорівнює квадрату їхнього модуля – є невід`ємним дійсним числом: .

3. Ділення комплексного числа на дійсне число зводиться до операції множення на обернене число. Наприклад, .

Ділення комплексного числа на комплексне число також може бути введено через операцію множення. Помножимо чисельник і знаменник на число спряжене до знаменника .

Наприклад, .