3. Метод інтегрування частинами

Теорема 2. Якщо функції i , які визначені на відрізку [а;b] мають неперервні похідні, то справедлива формула

(2)

Оскільки функція uv є первісною функції (uv)' =u'v + uv', то за формулою Ньютона-Лейбніца дістанемо

Скориставшись лінійністю визначеного інтеграла, дістанемо формулу (2).

Формула (2) називається формулою інтегрування частинами визначеного інтеграла.

Всі зауваження відносно формули інтегрування частинами невизначеного інтеграла переносяться і на формулу (2).

Приклади:

Обчислити інтеграли:

a) б)

а)

б)

Запитання:

1. Яка сума називається інтегральною?

2. Що називається визначеним інтегралом?

3. За яких умов функція є інтегральною?

4. Формула Ньютона - Лейбніца?

5. Властивості визначеного інтеграла?

6. Алгоритм заміни змінної у визначеному інтегралі?

7. Обчисліть:

а) ; б) ; в) ; г) ; д) ;

е)

Відповідь: а) ; б) ; в) ; г) ; д) 0; е) .

§6. Геометричний зміст визначеного інтеграла.

Відповідно до геометричної інтерпретації визначеного інтеграла площа криволінійної трапеції, обмеженої графіком неперервної невід`ємної функції , прямими і віссю абсцис , дорівнює:

y y=f(x)

0 a b x

y

y

y

y

У цих випадках використовують такі властивості площ:

1) якщо фігуру розбити на скінченне число частин, які не перетинаються, то її площа дорівнює сумі площ цих частин;

2) площа фігури зберігається при переміщенні, зокрема при паралельному перенесенні і перетворенні симетрії відносно точки і прямої.

Приклад1. Обчислити площу фігури, обмеженої лініями , ,

у

x=-1

у=0

-1 0 x

Згідно з формулою маємо .

П риклад 2. Обчислити площу фігури, обмеженої лініями , , х=-1, х=2.

Шукана площа відповідно до властивості дорівнює сумі площ

У

у

4 х=2

-1 0 2 х 0 2 х

кв.од. кв.од, кв.од

Приклад 3. Обчисліть площу фігури, обмеженої лініями , , х=2.

Згідно з формулою маємо кв.од

Приклад 4. Обчисліть площу фігури, обмеженої лініями , .

у

у

у=х

у=-х+10

-1 0 2 4 х

0 1 9 х -4

Щоб знайти абсциси точок перетину ліній і , розв`яжемо рівняння

. Скориставшись формулою, дістанемо (кв.од)

Приклад 5. Обчислити площу фігури, обмеженої лініями , у=х.

Розв`язуючи рівняння , знайдемо абсциси точок перетину графіків функцій

і у=х : . Згідно з формулою, маємо

(кв.од).

При обчисленні площ слід враховувати симетрію фігури відносно осей і початку координат. Це істотно скорочує обчислення. Наприклад, при обчисленні площі фігури, обмеженої лініями , достатньо обчислити площу тільки однієї її половини і результат подвоїти.

у у у

у=х у=х

у= 2

1

-1 0 1 х 0 х 0 1 2 х

У багатьох випадках вдається спростити обчислення площ фігур, застосовуючи різні види переміщень: перетворення симетрії відносно точки чи прямої, паралельне перенесення, поворот площини навколо даної точки. Наприклад, фігури і рівні, оскільки другу з них дістали з першої за допомогою перетворення симетрії відносно прямої .

Проте друга фігура вже є криволінійною трапецією, і площу її неважко обчислити.

Геометричний зміст визначеного інтеграла не тільки дає змогу знаходити площі фігур, а й обчислення об’єму тіла, утвореного обертанням графіка функції навколо висей координат.

Обчислення об’єму тіла, утвореного обертанням графіка функції навколо вісі Ох:

V = .

y y=f(x)

x

a

x= a x=b

Обчислення об’єму тіла, утвореного обертанням графіка функції навколо вісі Оу: V = .

y y=f(x)

y=b

y =0 x

Обчислення довжини дуги кривої

Запишемо, без виведення, формулу для знаходження дуги плоскої кривої, заданої рівнянням , при умові неперервності на функцій і .

Приклад. Знайти довжину дуги плоскої кривої лінії від точки до точки .

Розв`язання. В задачі , , . Тоді . Введемо заміну , тоді . Змінимо межі інтегрування. Якщо , то . Якщо , то . Обчисливши інтеграл, одержуємо довжину дуги:

(од.довж)

Завдання для самостійної роботи

1. Обчислити площу фігури, обмеженої лініями:

а) і

Відповідь: кв.од

б) , , , ,

Відповідь: 1 кв.од

в)

Відповідь: кв.од

2. Обчислити об’єм тіла, утвореного обертанням графіка функції навколо висей координат ; х=1; х=4; у=0

Відповідь: (од ), (од ).