§5. Методи обчислення інтегралів

1.Безпосереднє інтегрування

Для обчислення визначеного інтеграла при умові існування первісної користуються формулою Ньютона-Лейбніца:

З цієї формули видно порядок обчислення визначеного інтегралу:

1. знайти невизначений інтеграл від даної функції;

2. в отриману первісну підставити на місце аргументу спочатку верхню, а потім нижню межу інтеграла;

3. знайти приріст первісної, тобто обчислити інтеграл

Приклади:

1. Обчислити інтеграл:

Використавши вказане правило, обчислимо даний визначений інтеграл:

2. Обчислити інтеграл:

Використаємо означення степеня з дробовим і від'ємним показником та обчислимо визначений інтеграл:

3. Обчислити інтеграл:

Інтеграл від різниці функції замінимо різницею інтегралів від кожної функції.

2. Метод заміни

При обчисленні визначених інтегралів, як і невизначених, широко користуються методом заміни змінної (або методом підстановки).

Теорема 1. Нехай виконуються умови:

1) функція f(x) неперервна на відрізку [а;b];

2) функція x = (t) і її похідна х' = '(t) неперервні на відрізку [ ; ];

3) (α)=α, ( )=b I t ( ; ):a< (t)<b.

Тоді справджується рівність

(1)

Оскільки функція f(x) неперервна на [а;b], то вона має первісну. Позначимо її через F(x), x [а;b], тоді з теореми про заміну змінної в невизначеному інтегралі випливає, що функція F( (t)) буде первісною функції f( (t)) , t [ ; ]. Застосувавши формулу Ньютона - Лейбніца, маємо

Формула (1) називається формулою заміни змінної(або підстановки) у визначеному інтегралі.

Зауваження 1. Якщо при обчисленні невизначеного інтеграла заміною х= (t) y первісній функції необхідно було від змінної t повернутися до змінної x, то при обчисленні визначеного інтеграла замість цього треба змінити межі інтегрування. Нижня межа а знаходиться як розв'язок рівняння = (t) відносно невідомого t, a верхня межа - з рівняння b = (t).

Якщо функція (t) не монотонна, то може статися, що ці рівняння дадуть кілька різних пар і , які задовольняють умовам теореми 1. В цьому випадку можна взяти будь-яку з таких пар.

Зауваження 2. Часто замість підстановки x= (t) застосовують підстановку t= (x). У цьому випадку нові межі інтегрування визначаються безпосередньо: = (а), = (b). Проте тут слід мати на увазі, що функція x=x(t), обернена до функції (t), має, як і раніше, задовольняти всі умови теореми 1, зокрема функція x(t) в межах інтегрування має бути означеною неперервне диференційованою функцією t і при зміні t від до змінна x(t) має змінюватися від а до b.

Найзручніше виконувати заміну монотонно диференційованими функціями. Такі функції гарантують однозначність як прямої, так і оберненої функції.

Приклади

1. Обчислити інтеграл

Нехай х = a sin t, переконуємось, що ця функція задовольняє всі умовам теореми 1, при чому якщо x = 0, то 0 = a sin t, звідки t = 0; якщо х = а, то а = a sin t, звідки t = . Отже, = 0, . (Ця функція не є монотонною, тому існують й інші пари розв'язків, які задовольняють умови теореми 1 і можуть бути межами: тощо.)

Далі маємо

2. Обчислити інтеграл

Нехай , звідки , . Отже, якщо х змінюється від 0 до In 5, то нова змінна t змінюється від 0 до 2. Функція обернена до функції на відрізку [0;2] є монотонною і неперервною разом з похідною на цьому відрізку.

Маємо

3. Чи можна обчислити підстановкою x = sin t інтеграл .

Ні, тому що змінній t на проміжку ( ; ) відповідає змінна х не на відрізку [0;2], а на відрізку [-1;1] (|sinx| 1).

4. Обчислити інтеграл: sinxdx

Нехай cos x = t, - sinxdx = dt, sinxdx = -dt. Визначимо границі інтегрування для змінної t:

Виразимо підінтегральний вираз через t i dt, та перейдемо до нових границь, отримаємо:

5. Довести, що

коли f (x) - парна функція;

коли f (x) - непарна функція.

Маємо

У першому інтегралі виконаємо підстановку х = - t:

Далі дістаємо

Якщо функція парна, то , а якщо непарна, то

Знайдені формули дуже корисні. Можна, наприклад, зразу, не виконуючи обчислень, сказати, що