Скалярний добуток

Визначення

Скалярним добутком двох векторів та називається число, яке дорівнює добутку модулів співмножників на косинус кута між ними:

Використовуючи визначення проекції вектора, скалярний добуток можна записати так:

За допомогою скалярного добутку можна обчислити:

а) косинус кута між двома векторами

б) довжину вектора

в) проекцію одного вектора на напрям іншого

Якщо вектори та взаємно перпендикулярні , їх скалярний добуток дорівнює нулю. Використовуючи це, можна довести, що скалярний добуток та дорівнює

Звідси маємо ознаку перпендикулярності векторів і , заданих координатами

.

Приклад

Обчислити внутрішній кут при вершині трикутника , якщо відомі його вершини: A(3; 2; -3), B(5; 1; -1), та С(1; -2; 1).

Розв’язання

Внутрішній кут при вершині А утворюється двома векторами та . Обчислимо їх координати:

.

Їх модулі:

Скалярний добуток

тоді , .

Відповідь: .

Визначення

Напрямними косинусами вектора називають косинуси кутів між вектором і координатними осями, тобто де

Якщо , тоді

, причому,

, причому,

Приклад

Обчислити напрямні косинуси вектора .

Розв’язання

Перевіримо що

Відповідь:

Поділ відрізка в даному відношенні.

Якщо відрізок АВ поділено точкою С у відношенні , то координати точки С знаходять за формулами: ; ;

Якщо , то дістаємо формули для знаходження координат середини відрізка:

; ;

Завдання для самостійної роботи

1. Дано трикутник: .

Доказати, що .

2. Трикутник АВС: . Знайти: а) довжини сторін; б) гострий кут між медіаною і стороною АС.

Відповідь: а) 3; 3; ; б) .

§17. Полярна система координат

П оложення точки на площині визначається однозначно, якщо задати її координати в якій-небудь системі координат. Найбільш поширеними є прямокутна та полярна системи координат.

Прямокутна система координат визначається двома взаємно перпендикулярними прямими та , на яких вибраний додатний напрям. Точка їх перетину зветься початком координат.

Полярна система координат визначається променем (полярна вісь), на якій вибраний початок відліку (полюс) та додатний напрям. Числа і називаються полярними координатами точки М: - полярним радіусом, - полярним кутом. Полярні координати точки записують так М( ; ).

З в’язок між прямокутними та полярними координатами точки (якщо ці системи узгоджені, тобто полюс збігається з початком декартової прямокутної системи координат, а полярна вісь – з віссю ) виглядає так:

(1) та (2) ,

де , якщо точка знаходиться в 1-й чверті, , якщо – в 2-й або 3-й чвертях та , якщо – в 4-й чверті.

Таким чином, положення точки на площині визначається упорядкованою парою чисел, які є координатами цієї точки. Кожну лінію на площині ми будемо розглядати як геометричне місце точок, які мають загальну для них геометричну властивість, при цьому точки, які не належать лінії, такої властивості не мають. Записуючи цю властивість в алгебраїчній формі, ми отримаємо рівняння лінії. В прямокутній системі координат у загальному вигляді рівняння лінії записується або , або . В полярній системі координат відповідно , .

Приклад. Знайти прямокутні координати точки А(4; .

За формулами (1) знайдемо: .

Приклад. Знайти полярні координати точки, прямокутні координати якої .

За формулами (2) дістанемо: , , врахувавши знак тангенсу (ІІ чверть), знайдемо полярний кут : .

Завдання для самостійної роботи

1. Знайти прямокутні координати точок: С ;

Відповідь: С ,

2. Знайти полярні координати точки А ,

Відповідь: , .