4. Розкладання в ряди Фур'є деяких функцій, які зустрічаються в електротехніці

При вивченні різних залежностей в електричних ланцюгах з несинусоїдальними струмами застосовують ряди Фур'є. Змінний синусоїдальний струм i = І sin ωt має період . Несинусоїдальний струм розкладають в рад Фур'є вигляду

(5)

Формули для знаходження коефіцієнтів ряду (5) виходять з формул

(6-8):

(6)

(7)

(8)

за допомогою заміни змінної х = ωt і мають вигляд:

(9)

(10)

. (11)

Розкласти в ряд Фур'є функцію двонапівперіодного синусоїдального струму:

і(t) =

А sin ωt при 0 ≤ t ≤ , -А sin ωt при ≤ t ≤ , (мал. 2)

Дана функція є парною, тому b_n = 0. За формулами (9-10) знаходимо

а ₀ = ,

Мал. 2

а_n =

=	0, якщо n –непарне;
	, якщо n – парне.

Тоді а₂ = - , а₄ = - , а₆ = - ,… .

Підставляючи ці значення у формулу (5), отримаємо,

і(t) = або

і(t) = .

Завдання для самостійної роботи.

Розкласти в ряд Фур׳є функції:

а) f(х) = |х|, х є [- ]

Відповідь:

б f(х) = )	-1, - < х < 0
	1, 0 < х <

Відповідь:

Розділ ІІ Основи аналітичної геометрії та лінійної алгебри

Тема І. Елементи аналітичної геометрії на площині

§16. Вектори і їх застосування. Прямокутні координати вектора. Поділ відрізка в заданому співвідношенні.

Визначення

Вектором називається величина, яка характеризується як числовим значенням, так і напрямом у просторі.

Числове значення вектора зветься довжиною або модулем вектора.

Звичайно вектор позначають однією або двома латинськими літерами зі стрілкою , або жирними літерами.

, точка – початок вектора, точка – його кінець.

Модулем або довжиною вектора називається число , яке дорівнює довжині відрізку . В фізиці часто модулі векторів позначають відповідними літерами без стрілки:

Визначення

Одиничним вектором або ортом даного вектора називається вектор, довжина якого дорівнює одиниці довжини (при даному масштабі), а напрям збігається з напрямом , тобто або

Орти осей декартових координат позначаються та .

Визначення

Проекцією вектора на вісь називається довжина відрізка, який з’єднує проекції на цю вісь початку й кінця даного вектора, взята зі знаком “+”, якщо кут між вектором і віссю гострий, і знаком “–”, якщо цей кут тупий.

І з вище наведеного рисунку ясно, що

Будемо у подальшому позначати проекції вектора на координатні осі відповідно та Вектор можна задати цими проекціями, які називаються координатами вектора,

,

або розкладанням за координатним базисом

Визначення

Вектори і називаються колінеарними , якщо вони лежать на паралельних прямих або на прямих, які збігаються.

Умова колінеарності двох векторів та рівносильна умові їх пропорційності , тобто або , або обидві відповідні координати цих векторів одночасно дорівнюють нулю.

Приклад

Обчислити координати вектора , якщо відомі координати точок його початку та кінця: та .

Розв’язання

Тому .

Відповідь: .

При додаванні, відніманні та множенні вектора на число відповідно додаються, віднімаються та множаться на це число однойменні координати.

Приклад

Обчислити суму та різницю двох векторів та .

Розв’язання

Відповідь:

Приклад

Обчислити добутки вектора на числа та

Розв’язання

,

Відповідь:

Розрізняють два види добутків двох векторів: скалярний та векторний.