§12. Розв’язання диференціальних рівнянь різних типів.

І Однорідне рівняння.

Однорідною функцією змінних х і у називається функція, всі члени якої мають однаковий степінь.

Наприклад, - однорідні функції відповідно другого, третього і першого степенів.

Рівняння називається однорідним, якщо виконується тотожність , де - довільний параметр.

Це рівняння за допомогою підстановки зводиться до рівняння з відокремлюваними змінними відносно і .

Приклад 1. Розглянемо рівняння . З знаходимо . Тепер рівняння набуває вигляду , тобто . Ми дістали рівняння з відокремлюваними змінними . Після інтегрування матимемо . Повертаючись до старих змінних, остаточно знаходимо . Це і є загальним розв’язком рівняння.

Приклад 2. Знайти загальний розв’язок рівняння . Дане рівняння є однорідним рівнянням першого степеня відносно змінних х і у; припустимо, що , знайдемо диференціал добутку: Підставивши вирази і в дане рівняння, дістанемо , звідки, зробивши спрощення, маємо:

.

Отже, дістали рівняння з відокремлюваними змінними. Відокремивши змінні та про інтегрувавши, знаходимо: . Замінивши в цьому виразі , дістанемо . Це і є загальний розв’язок даного рівняння.

Приклад 3. Знайти частинний розв’язок рівняння , якщо у=-1 при х=1. Перепишемо рівняння у вигляді і скористаємось підстановкою і в рівняння. Маємо:

оскільки

Використавши початкові умови х=1, у=-1, маємо , звідки С=1. Отже, . Це і є шуканий частинний розв’язок даного рівняння.

ІІ Лінійні диференціальні рівняння першого порядку

Рівняння вигляду , де - функції від х, називається лінійним диференціальним рівнянням першого порядку. В окремому випадку і можуть бути сталими величинами.

Це рівняння зводиться до рівняння з відокремлюваними змінними за допомогою підстановки , де і z –нові функції від х.

Приклад 4. Знайти загальний розв’язок рівняння . Це – лінійне рівняння: тут . Припустимо, що і про- диференцюємо це рівняння за х: . Підставивши тепер вирази для у та в дане рівняння, дістанемо

(1) оскільки одну з допоміжних функцій або z можна взяти довільно, то за візьмемо один з частинних розв’язків рівняння . Відокремивши в цьому рівнянні змінні та інтегруючи, маємо:

(вважаємо, що довільна стала С дорівнює нулю, бо знаходимо один з частинних розв’язків).

Підставимо тепер вираз для в рівняння (1); тоді дістанемо рівняння

Знаючи і z, дістанемо тепер загальний розв’язок рівняння

.

Приклад 5. Знайти частинний розв’язок рівняння , якщо у=1 при х=0.

Поділивши всі члени даного рівняння на , дістанемо рівняння яке є лінійним. Припустимо, що ; тоді . Підставивши вирази для у і в рівняння, маємо , або . Для відшукання дістанемо рівняння

Підставивши вираз для в рівняння, маємо

Отже, загальний розв’язок даного рівняння записується так: .

Використавши початкові умови у=1 прих=0, маємо , звідки С=1. таким чином, шуканий частинний розв’язок має вигляд .

ІІІ Лінійним однорідним диференціальним рівнянням другого порядку зі сталими коефіцієнтами називається рівняння вигляду

, де p і q - сталі величини.

Щоб визначити загальний розв’язок рівняння, складемо характеристичне рівняння

Яке дістаємо з рівняння заміною на відповідні степені r , причому сама функція у замінюється одиницею.

Тоді загальний розв’язок диференціального рівняння будується залежно від коренів характеристичного рівняння. Тут можливі три випадки.

Випадок І . Корені - дійсні і різні числа. У цьому випадку загальний розв’язок рівняння має вигляд

Випадок ІІ. . Корені - дійсні і рівні: . Тоді загальний розв’язок рівняння записується так: .

Випадок ІІІ. . Корені - комплексно-спряжені: . У цьому випадку загальний розв’язок рівняння має вигляд : .

Приклад 6. Розв’язати рівняння

Складемо характеристичне рівняння і знайдемо його корені: ; .

Оскільки корені характеристичного рівняння дійсні і різні, то загальний розв’язок даного рівняння має вигляд : .

Приклад 7. Розв’язати рівняння . Складемо характеристичне рівняння і знайдемо його корені: =4. характеристичне рівняння має рівні дійсні корені; тому загальний розв’язок даного рівняння має вигляд : .

Приклад 8. Знайти частинний розв’язок рівняння , якщо у=1 і прих=0.

Оскільки характеристичне рівняння має комплексно-спряжені корені , то загальний розв’язок даного рівняння має вигляд : .

Диференціюючи загальний розв’язок, маємо .

Підставимо тепер початкові дані у вирази для у і :

, або , звідки і . Отже, шуканий частинний розв’язок має вигляд .

Завдання для самостійної роботи

Знайти загальні розв’язки рівнянь:

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

Знайти частинний розв’язок рівняння:

5. ; у=3 при х=1

6. ; у=3 при х=0

7. ; у=1 і при х=0

8. ; у=1 і при х=0

Відповідь: 1). ;

2). ;

3). ;

4). ;

5). ;

6). ;

7). ;

8). .