§14. Розкладання функцій в ряди Тейлора-Маклорена

Нехай - функція, що нескінченно диференціюється в околиці точки .

Ряд називається рядом Тейлора для функції .

Якщо а=0, то одержуемо ряд , який називається рядом Маклорена.

Приклад. Розкласти функцію в ряд Маклорена.

Так як , то при х=0 маємо

Справедливі наступні розкладання:

, (1)

, (2)

(3)

(4)

Приклад. Розкласти функцію в ряд Маклорена.

Замінюючи в розкладанні (3) , отримаємо ,

Звідки

Завдання для самостійної роботи

Розкласти в ряд Тейлора-Маклорена функції: а) ; б)

Відповідь: а) ;

б) .

§15 Розкладання функцій, які часто зустрічаються в спец предметах, в ряди Фур׳є.

1. Тригонометричні ряди.

2. Ряд Фурۥє.

3. Ряди Фурۥє для парних та непарних функцій.

4. Розкладання в ряд Фурۥє функцій, які часто зустрічаються в електротехніці.

Ряд виду

(1)

іменується тригонометричним рядом.

Числа а₀; а₁; а₂; b₁; b₂;… - коефіцієнти ряду.

На відміну від степеневого ряду в тригонометричному замість степенів змінної x взяті тригонометричні функції соsx, sinx, соs2х, sin2x^`,… соs nx, sin nx…, які також є достатньо прості і хорошо вивчені властивості х.

1. Всі функції тригонометричного раду є функції періодичніi з періодом 2π. Це oзначaє, що тригонометричні ряди особливо зручні при вивчені періодичних функцій.

2. Всі функції тригонометричного ряду на відрізку [-π; π] мають властивості:

Інтеграл на відрізку [-π; π] від добутку любих двох різних функцій цієї системи дорівнює нулю, а інтеграл на відрізку [-π; π] від квадрату любої функції цієї системи ≠ 0.

3. Тригонометричний ряд

, де

називають рядом Фурۥє, а коефіцієнти а_о; а_n; b_n – коефіцієнтами Фурۥє.

4. Розглянемо яким тригонометричним рядом можна замінити парні та непарні функції, тобто, яким числам дорівнюють коефіцієнти Фурۥє.

а) Для парної функції [f(-х) = f(х)] коефіцієнти Фурۥє обчислюються за формулами: b_n = 0; а₀ =

Отже, парна функція розкладається в ряд Фур׳є по косинусам

б) Для непарної функції [f(-х) = -f(х)] коефіцієнти Фурۥє

а₀ = 0; а_n = 0; b_n =

Тоді непарна функція розкладається в ряд Фур׳є по синусам:

f(x) = b₁ sin x+b₂ sin 2x+…+b_n sin nx+…

Приклад 1. Розкласти функцію f(х) = х в ряд Фурۥє. Так як f(х) = х – непарна, то а₀=0; а_n = 0, b_n =

Таким чином, отримуємо ряд Фурۥє даної функції:

f(x) = х = 2( =

Приклад 2. Розкласти функцію f(х) = х² в ряд Фурۥє. Так як f(х) = х² – парна, то b_n =0.

Тоді ряд Фурۥє для даної функції має вигляд:

f(x) = х² = + =

Ця рівність справедлива для любого х є [-π, π].

Приклад 3. Розкласти в ряд Фур'є періодичну функцію:

f(х) =	0 при -π≤ х < 0,
	х при 0 ≤ х ≤ π

Аби розкласти періодичну функцію f(х) з періодом 2 в тригонометричний ряд, треба знайти коефіцієнти цього ряду, які обчислюються за формулами:

, (2)

(3)

(4)

Графік функції разом з періодичним продовженням на всю вісь Ох зображено на малюнку 1.

у

-2π

х

π

2π

3π

0

Мал.1

По формулам (2-4) знайдемо коефіцієнти Фур'є, враховуючи, що f(х)= 0 в проміжку –π ≤ х < 0 і f(х)= х в проміжку 0 ≤ х ≤ π.

Спочатку знаходимо

Перший інтеграл дорівнює нулю, тому

Далі, знаходимо коефіцієнти а_n:

Перший інтеграл дорівнює нулю, другий інтеграл обчислюємо частинами по формулі . Тут u = x, =cos nx dx, du = dx, ,

звідки

Надаючи n значення 1, 2,3,., отримаємо а₁= , а₂ = 0, а₃ = - , а₄=0,

а₅=- ,….

Нарешті, знаходимо коефіцієнти b_n:

b_n=

Інтегруємо частинами, вважаючи u = х, dυ = sin nх dх, du = dx,

υ = - соsnх, отримаємо

b _n = =

звідки, b₁ = 1, b₂ = - , b₃ = , b₄ = - , b₅ = … .

Згідно з формулою (1):

f(х) = (- ) +(- соs 3х + + ,

або f(х)= +( +