3.3.2 Матричная форма уравнений по методу непосредственного применения законов Кирхгофа (мнз).

Система уравнений по методу непосредственного применения законов Кирхгофа может быть записана в матричной форме. Для чего перепишем уравнения (3.25), (3.27) упорядоченно по номерам токов, а если данного номера тока нет, запишем данный ток умноженным на нуль:

Последняя система (3.29) в матричной форме:

(3.30)

Краткая система записи последнего выражения имеет вид:

, (3.31)

где: - квадратная матрица обобщенных сопротивлений по методу законов Кирхгофа; - матрица-столбец неизвестных токов; - матрица-столбец обобщенных ЭДС метода непосредственного применения законов Кирхгофа; i, к – соответственно номера рядов и столбцов элементов матриц. Матрицу токов в системе (3.31) можно найти с помощью обратной матрицы обобщенных сопротивлений:

. (3.32)

Применение матриц позволяет кратко записать уравнения, но общий объем вычислений не уменьшается.

3.3.3 Примеры расчета по методу непосредственного применения законов Кирхгофа Пример 3.7.

Рассчитать токи I₁ и I₂ методом непосредственного применения законов Кирхгофа, если: R₁ = 15 Ом; R₂ = 5 Ом; R₃ = 4 Ом; R₄ = 7 Ом; R₅ = 3 Ом; Е₁ = 10 В; Е₂ = 8 В; Е₃ = 12 В; Е₄ = 16 В; Е₅ = 10 В; Е₆ = 6 В; J = 2 А.

Решение.

Первый этап. Выбираем направления токов в ветвях схемы и упрощаем электрическую цепь путем преобразования ветви с источником тока J. Так как внутреннее сопротивление источ­ника тока бесконечно, а R₁ конечное, последнее исчезает, а вместо одной ветви с источником тока можно зарисовать две ветви с источником тока (рисунок 3.42).

П

Рисунок 3.41 – Схема к примеру 3.7.

рименяем эквивалентное преобразование параллельных вет­вей с источником тока, получаем упрощенную цепь (рисунок 3.43.), где В.

В упрощенной схеме на две ветви и на два узла меньше, чем в предыдущей схеме. Число неизвестных токов три, а узлов – два.

Второй этап. По первому закону Кирхгофа составляем одно уравнение для первого узла:

. (3.28)

Третий этап. По второму закону Кирхгофа составляем два недостающих уравнения для независимых контуров I и II.

. (3.29)

Рисунок 3.42 – Преобразование схемы Рисунок 3.43 – Упрощенная схема

Подставляем значения величин в уравнения (3.28) и (3.29), получаем:

. (3.30)

Четвертый этап. Решаем полученную систему с помощью определителей:

Ток I₂ в схеме, изображенной на рисунке 3.41, находим по первому закону Кирхгофа для узла 4:

А.

Ток I₅ находим по уравнению А для узла 3.

Пятый этап. Проверим достоверность полученных результатов по выполнению баланса мощностей для заданной электрической цепи (рисунок 3.41):

(3.31)

Напряжение U₅₄ на зажимах источника тока можно вычислить по уравнению, составленному по второму закону Кирхгофа для контура III (рисунок 3.41):

. (3.32)

Следовательно:

В.

Подставляем полученные значения в уравнение 3.31:

104 Вт ≈ 103,92 Вт.

Расчет выполнен верно.

Недостаток метода непосредственного применения законов Кирхгофа связан с необходимостью составления и решения большого количества уравнений, если не производить упрощения электрических цепей.

Пример 3.8.

Р

Рисунок 3.44 – Схема к примеру 3.8.

ассмотрим пример решения задачи, где необходимо рассчитать параметры источника энергии. Рассчитать токи и напряжения на всех участках электрической цепи и значение напряжения источника ЭДС Е₁ для схемы на рисунке 3.44, если U₂ = 4 B; R₁ = 1 Ом; R₂ = 2 Ом; R₃ =2 Ом; R₄ = 5 Ом; Е₂ = 10 В. Направление токов указано на схеме (рисунок 3.44).

Решение.

Схема достаточно проста, поэтому по второму этапу составим уравнение по первому закону Кирхгофа для второго узла. А по третьему этапу составим уравнения по второму закону Кирхгофа для первого и второго контуров:

для узла 2

(3.33)

для первого контура (3.34)

для второго контура

(3.35)

Общее число неизвестных величин токов I₁, I₂, I₃ и ЭДС Е₁ – четыре, поэтому систему уравнений (3.33) – (3.35) дополняем четвертым уравнением по закону Ома:

А. (3.36)

По четвертому этапу решаем уравнение (3.35) относительно тока I₃, подставляя параметры элементов R₂, R₃ , Е₂: откуда:

А.

Из уравнения (3.33) находим: А.

Величину ЭДС Е₁ вычисляем из уравнения (3.34):

В.

Проверка правильности выполнения задачи выполняется по балансу мощностей:

; (3.37)

;

32 Вт = 32 Вт.

Для линейных электрических цепей наиболее часто применяется метод контурных токов и метод узловых потенциалов, которые основаны на различных вариантах решения уравнений, составленных по законам Кирхгофа.