3.5 Метод узловых потенциалов (муп)

3.5.1 Обоснование метода

Метод узловых потенциалов обоснован на составлении уравнений по первому закону Кирхгофа и закону Ома для участка цепи, содержащего ЭДС. Число уравнений в стандартной системе на единицу меньше общего числа узлов, то есть k-1, поэтому целесообразно на первом этапе выполнить упрощение схемы с уменьшением числа узлов.

Так в схеме рисунка 3.52 проставим положительные направления токов и объединяем узлы 1 и 8, 3 и 9, 4 и 5, 2 и 10, а трёхлучевую «звезду» сопротивлений и преобразуем в треугольник сопротивлений величиной 3 .

.

Рисунок 3.52 ­– Схема к обоснованию метода узловых потенциалов

В упрощённой схеме рисунка 3.53 четыре узла и десять неизвестных токов. Три уравнения составим для узлов 1,2 и 3 по первому закону Кирхгофа для узлов (1),(2) и (3), а остальные семь по закону Ома для ветви содержащей ЭДС (рисунок 3.53):

для узла 1;

для узла 2 ; (3.70)

для узла 3;

; ;

; ;

; ; (3.71)

; ;

.

З

Рисунок 3.53 – Упрощенная схема к обоснованию метода узловых потенциалов

десь: ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; .

Решаем систему уравнений подстановкой величин токов (3.71) в уравнения (3.70) получим:

(3.72)

Если принять потенциал самого старшего по номеру узла 4 равным нулю («заземлить»), и сгруппировать коэффициенты при одинаковых потенциалах получим систему уравнений:

(3.73)

Полученная система уравнений (3.73) содержит ряд особенностей:

1. В левой части каждого из уравнений потенциал, для каждого составленного уравнения умножается на сумму проводимостей ветвей, подсоединенных к данному узлу.

Такие суммы называют собственными проводимостями узлов и их обозначают:

;

; (3.74)

2. Узловые потенциалы, номера которых не совпадают с номером узла, для которого составлено данное уравнение, умножается на взятые со знаком минус проводимости ветвей, подсоединеных между этим и другими узлами.

Такие суммы называют взаимными проводимостями ветвей и для них вводят обозначения:

;

; (3.75)

.

Правая часть каждого из уравнений системы является алгебраической суммой токов, источников тока и произведений ЭДС ветвей на собственные проводимости ветвей, подсоединенных к узлу, для которого составлено уравнение; токи и ЭДС источников, направленных к узлу, имеют знак плюс, а если от узла – знак минус. Такие алгебраические суммы называют узловыми токами и вводят обозначения:

(3.76)

С учетом введенных обозначений система уравнений (3.73) принимает вид:

(3.77)

Полученная система уравнений (3.77) является стандартной формой записи уравнений в методе узловых потенциалов, и для случая цепи с k узлами система имеет вид:

(3.78)

В матричной форме:

. (3.79)

где: [G_ij] – квадратичная матрица собственных и взаимных проводимостей узлов или матрица проводимостей; [φ_j] – матрица-столбец узловых потенциалов; [I_jj] – матрица-столбец узловых токов источников тока и ЭДС; i, j – номера рядка и столбца элементов матриц.

Матрица проводимостей симметричная, так как:

Решение системы (3.78) относительно матрицы узловых потенциалов имеет вид:

; (3.80)

где: [G_ij]^-1 – обратная матрица проводимостей.

Решение системы уравнений (3.78) с применением определителей имеет вид:

(3.81)

где: ∆₁₁; ∆₂₂; ∆₃₃; ∆₁₂=∆₂₁; ∆₁₃=∆₃₁; ∆₂₃=∆₃₂ -алгебраические дополнения, а ∆ – главный определитель системы уравнений.

Вычисление определителей выполняют по формулам таким же, как и в методе контурных токов (3.59). По формулам (3.71) рассчитываем величины токов в ветвях электрической цепи (рисунок 3.53). Расчет токов по рисунку 3.52 для преобразованной части выполним, вычислив величину потенциала узла 11: . Токи сторон треугольника вычислим по закону Ома:

Токи лучей «звезды» вычисляем по первому закону Кирхгофа:

(3.82)

Величину тока I₃₀ находим из уравнения для узла 11 I₃₀= I₄₀– I₁, а величину тока I₅₀ по уравнению для узла 7: I₅₀= I₂₀ + I_30.