3.6 Основные теоремы теории линейных электрических цепей

3.6.1 Входные, взаимные проводимости и входное сопротивление

При обосновании метода контурных токов была получена формула (3.49) для расчета контурных токов. В общем случае для любого контурного тока I_kk и m контурных ЭДС она примет вид:

. (3.99)

Е сли в первой ветви первого контура рисунка 3.59 включен единственный источник ЭДС Е₁ всей цепии эта ветвь входит только в первый контур, то в соответствии с выражением (3.99):

. (3.100)

Отношение принято называть входной проводимостью первой ветви:

Рисунок 3.59 – К определению входной проводимости

(3.101)

Входная проводимость численно равна току в данной ветви при величине ЭДС в этой ветви равной 1В. Для любой ветви один раз входящей в один контур взаимная проводимость:

. (3.102)

Входное сопротивление:

. (3.103)

Если k=2, i=1 заданная Е₁ вызывает в ветви 2, входящей только во второй контур, ток:

, (3.104)

г де: g₂₁ – взаимная проводимость первого и второго контуров (или взаимная проводимость первой и второй ветви).

Следовательно, взаимная проводимость i-го и k-го контуров (ветвей):

. (3.105)

В

Рисунок 3.60 – К определению взаимной

проводимости

еличина численно равна току в k-ой ветви, если в ветви i и E_i = 1 В. Индекс k указывает какой ток определяется. Взаимная проводимость также может быть определена по формуле:

. (3.106)

Входные и взаимные проводимость имеют единицу измерения [ ] = [ ] = Cм, а входное сопротивление [R_{вх i}] = Ом.

3.6.2 Теорема взаимности

Теорема взаимности формулируется следующим образом: для любой линейной цепи ток в k-ветви, вызванной ЭДС E_i, находящейся в i-ветви (рисунок 3.61 а):

I_k = E_i∙g_ki, (3.107)

будет равен току I_i в i-ветви, вызванному ЭДС Е_к, находящейся в k-ветви (рисунок 3.61 б):

I_i = E_k∙g_ik, (3.108)

Если Е_k = Е_m.

Для доказательства теоремы обращаемся к рисунку 3.61 а.

В ветвь i включаем ЭДС Еi, а в ветвь k – амперметр для измерения тока I_k. Пусть каждая из ветвей входит только в k и i – контуры. Тогда по методу контурных токов:

. (3.109)

Е

Рисунок 3.61 – Граф электрической цепи

сли поменять местами ЭДС и амперметр и назвать ЭДС в ветви i Еi, в этом случае для рисунка 3.61 б ток

. (3.110)

Так как E_k = E_i, а ∆_ki = ∆_ik и в силу симметрии определителя ∆_R относительно главной диагонали, ток I_k в схеме рисунка 3.61 а равен току I_i в схеме рисунка 3.61 б. Для нелинейных цепей принцип взаимности не выполним.

3.6.3 Теорема наложения (суперпозиций)

В соответствии с методом контурных токов в линейной электрической цепи, любой контурный ток I_kk равный току ветви I_k и входящей только один раз в k-ый контур определяется:

, (3.111)

где: – взаимная проводимость первого и k-го контуров; частичный ток, возникающий в контуре k от действия источника ЭДС Е₁ первого контура при Е₂=…=Е_m=0, :

; при Е₁=Е₃=…=Е_m=0;

……………………………………………………

; при Е₁=Е₂=…=Е_m-1=0.

где: m – общее количество источников ЭДС в электрической цепи.

Следовательно, ток I_kk в любом k-м контуре равен алгебраической сумме частичных токов, которые создаются в этом контуре каждой ЭДС, которая действует отдельно:

. (3.112)

Так как схема для обоснования МКТ содержит и источники тока, то в общем случае теорема наложения может быть сформулирована иначе: ток в любой ветви равен алгебраической сумме токов, созданных каждым источником энергии в отдельности.

В основе метода наложения (суперпозиции) для расчета линейных электрических цепей лежит теорема наложения.

Пример 3.15.

Д ля схемы 3.62 методом суперпозиции рассчитать токи, если известны значения всех элементов.

Рисунок 3.62 – Схема

к примеру 3.15.

Рисунок 3.63 – Схема к первому этапу решения примера 3.15.

Решение.

На первом этапе для схемы 3.62 в соответствии с методом наложения оставляем в схеме один источник ЭДС Е, а J=0.

Рассчитаем частичные токи во всех ветвях применяя эквивалентные преобразования схемы:

(3.113)

На втором этапе оставляем в схеме источник тока, а вместо источника ЭДС оставляем закороченный участок электрической цепи (рисунок 3.64).

Рисунок 3.64 – Схема ко второму этапу решения примера 3.15.

Вычисляем токи:

(3.114)

На третьем этапе находим результирующие токи в ветвях электрической схемы рисунка 3.62:

(3.115)