3.5.2. Последовательность расчета задач методом узловых потенциалов

1. Необходимо проставить положительные направления токов в заданной электрической схеме и выполнить упрощение схемы с целью уменьшения числа узлов.

2. Пронумеровать узлы, а самый старший узел по номеру «заземлить». Если в схеме содержатся ветви с бесконечной проводимостью и ЭДС, то целесообразно выбирать самый старший узел по номеру, ограничивающему такую ветвь, а потенциал узла на другом конце ветви отличается на величину ЭДС, что приводит к уменьшению общего числа неизвестных потенциалов и, соответственно, к уменьшению количества уравнений в системе. Количество неизвестных потенциалов определяем по формуле:

P = k-1-N,

где k – количество узлов; N – число ветвей с бесконечной проводимостью.

3. Записываем стандартную систему уравнений и решаем ее относительно неизвестных потенциалов.

4. Величины токов определяем по закону Ома для ветви, содержащей ЭДС.

5. Возвращаемся к исходной электрической схеме и производим вычисления отдельных токов в ветвях.

6. Проверку результатов расчета выполняем подстановкой ответов в уравнения, составленные по законам Кирхгофа или по балансу мощностей.

Таким образом, преимуществом методов контурных токов и узловых потенциалов можно считать меньшее количество уравнений по сравнению с методом непосредственного применения законов Кирхгофа. Если количество уравнений по первому закону Кирхгофа (k–1) меньше количества уравнений по второму закону Кирхгофа (n–k+1), целесообразно пользоваться методом узловых потенциалов, а если по второму закону Кирхгофа количество уравнений меньше, то целесообразно воспользоваться методом контурных токов.

Пример 3.12.

Выполнить расчет токов в ветвях электрической цепи (рисунок 3.54), если параметры электрической цепи: E₁ = 100 B; E₃ = 200 B; J₅ = 1, 5 A; J₆ = 1 A; E₇ = 200 B; J₇ = 0, 5 A; J ₈ = 0, 5 A; E₈ = 250 B; R₁ = 400 Ом; R₂ = 200 Ом; R₄ = 400 Ом; R₆ = 700 Ом; R₇ = 200 Ом; R₈ = 300 Ом.

Решение.

Н а первом этапе выберем направления токов по заданной электрической схеме (рисунок 3.54) и упростим схему. Так E₈^’= E₈ - J ₈R₈ = 250 – 0,5∙300 = =100 B; E₇^/= E₇ + J ₇R₇ = 200 + 0, 5∙200 = 300 B.

Н

Рисунок 3.55 – Упрощеная схема к примеру 3.12.

Рисунок 3.54 – К примеру 3.12.

а втором этапе пронумеруем узлы. На рисунке 3.55 представлена упрощенная электрическая схема, содержащая пять узлов и третью ветвь с бесконечной проводимостью, что позволяет самым старшим по номеру выбрать узел, ограничивающий третью ветвь, то есть пятый узел. «Заземляем» пятый узел φ₅ = 0 и тогда φ₄ = -E_3.

На третьем этапе составим стандартную систему трех уравнений относительно неизвестных потенциалов узлов φ₁, φ₂, φ₃:

(3.83)

Подставим в систему (3.83) формулы для вычисления коэффициентов, пользуясь известными правилами предыдущего параграфа:

(3.84)

Выполним подстановку параметров элементов в систему (3.84):

(3.85)

Решаем систему уравнений (3.85) с помощью определителей:

(3.86)

.

На четвертом этапе рассчитываем величины токов в ветвях схемы рисунка 3.55 по закону Ома:

(3.87)

На пятом этапе выполняем расчет остальных токов схемы рисунка 3.54 по первому закону Кирхгофа:

(3.88)

На шестом этапе выполняем проверку результатов расчета для исходной схемы 3.54 по первому закону Кирхгофа:

(3.89)

Пример 3.13.

В ыполнить расчет токов в ветвях электрической цепи рисунка 3.56 в общем виде: считая заданными параметры элементов; сопротивлением амперметра пренебрегаем, а сопротивление вольтметра R_в учитываем при расчете.

Решение

Н

Рисунок 3.56 – Схема к примеру 3.13.

а первом этапе упростим электрическую цепь рисунка 3.56, объединяем узлы связанные ветвями без элементов, и выберем положительные направления токов.

На втором этапе пронумеруем узлы, выбрав самый старший по номеру узел 5, ограничивающий ветви с бесконечной проводимостью. «Заземляем» узел 5, а потенциалы узлов 2, 3, 4 являются известными: φ₂ = E₁; φ₃ = E₂; φ₄ = -E₃; φ₅ = 0.

Неизвестным потенциалом является потенциал только первого узла.

На третьем этапе составляем одно уравнение с одним неизвестным потенциалом:

. (3.90)

З

Рисунок 3.57 – Упрощенная схема к примеру 3.13.

десь:

Очевидно, что:

. (3.91)

На четвертом этапе рассчитываем токи в ветвях электрической цепи рисунка 3.57 по закону Ома для ветви, содержащей ЭДС:

(3.92)

На пятом этапе рассчитываем остальные токи по первому закону Кирхгофа для рисунка 3.56 заданной схемы:

(3.93)

Пример 3.14.

Для электрической цепи примера 3.10. выполнить расчет токов в ветвях методом узловых потенциалов.

Решение.

Выбираем упрощенную схему 3.50. По второму этапу проставляем направления токов и пронумеруем узлы электрической схемы.

П ринимаем потенциал узла 4 равным нулю φ₄ = 0.

На третьем этапе для трех неизвестных потенциалов φ₁; φ₂ и φ₃ составляем стандартную систему уравнений:

(3.94)

П

Рисунок 3.58 – Схема к примеру 3.14.

одставляем формулы коэффициентов в уравнения (3.94):

(3.95)

(3.96)

Решаем полученную систему (3.96) с помощью определителей:

(3.97)

Здесь:

На четвертом этапе рассчитываем токи в ветвях электрической цепи по закону Ома для ветви содержащей ЭДС:

(3.98)

Пятый и шестой этапы выполнены в примере 3.11.