3.6.6 Метод эквивалентного генератора
Метод эквивалентного генератора находит широкое применение для решения теоретических и прикладных задач. В основе метода лежит определение основных параметров активного двухполюсника: Е=Uabxx (J=Iкз) и Rвх. Определение этих параметров выполняют по системе уравнений для рисунка 3.65 б для двух значений сопротивления приемника энергии Rн1 и Rн2, если величины Iн1, Iн2, Uн1 и Uн2 получены экспериментально:
(3.118)
Решение системы (3.118) имеет вид:
(3.119)
Частными случаями нагрузки являются нерабочие режимы (холостого хода – Rн→∞) и короткого замыкания (Rн→0). В режиме холостого хода мы измеряем E=Uxx, а в режиме короткого замыкания мы измеряем величину тока Iкз и по второму закону Кирхгофа для рисунка 3.65 б находим:
(3.120)
В задачах анализа электрических цепей обычно параметры элементов заданы и величины Uхх (или Iкз) и Rвх определяются расчетным путем:
1. Выделяют активный двухполюсник по отношению к зажимам элемента с неизвестным током.
2. Рассчитывают напряжение нерабочего режима Uхх по второму закону Кирхгофа для контура, в состав которого входит это напряжение. Токи, а потом и напряжения на элементах ветвей, входящих в данный контур, рассчитывают при Rн→∞. Токи рассчитывают любым методом расчета цепей постоянного тока.
3. Расчет входного сопротивления двухполюсника выполняют предварительно исключив все источники энергии. Исключение состоит в том, что зажимы источников ЭДС закорачивают, а идеальных источников тока – размыкают. Расчет Rвх выполняют применением методов эквивалентных преобразований или по МКТ или МУП.
4. Полученные значения Uхх и Rвх подставляют в уравнение, составленное по второму закону Кирхгофа для рисунка 3.65 б:
.
(3.121)
Вычисляем ток:
.
(3.122)
Пример 3.16.
Для электрической цепи, схема которой изображена на рисунке 3.69 рассчитать величину тока I1 методом эквивалентного генератора, если параметры элементов имеют величины: R1=110 Ом; R2=60 Ом; R3=45 Ом; R4=150 Ом; R5=80 Ом; R6=50 Ом; Е1=10 В; Е2=8 В; J2=0,1А
Решение.
На первом этапе выделяем схему активного двухполюсника по отношению к зажимам a и b элемента с независимым током I1 (пунктиром).
На втором этапе рассчитаем напряжение нерабочего режима Uabxх. На рисунке 3.70 представлена расчетная схема, где величина сопротивления R1 →∞, то есть в первой ветви обрыв.
Рисунок 3.69 – Схема
к примеру 3.16.
Рисунок 3.70 – Схема
к расчету Uabxx
Для выбранного двухполюсника на рисунке 3.70 составим для показанного контура по второму закону Кирхгофа уравнение, предварительно проставив положительные направления токов в ветвях схемы и заменив источник тока J на эквивалентный источник ЭДС Eэ=R2J:
.
(3.123)
Из полученного уравнения (3.123) находим:
. (3.124)
Расчет токов I6х и I2х выполним методом узловых потенциалов, проставив номера узлов и «заземлив» узел 2 (φ2=0), запишем одно уравнение для потенциала узла 1:
(3.125)
Подставляем в формулу (3.125) выражения для коэффициентов G11 и I11:
(3.126)
Получаем:
Токи I2х и I6х определяем по закону Ома для ветви содержащей ЭДС:
Подставляем значения токов в уравнение (3.124):
.
На третьем этапе выполним расчет входного сопротивления пассивного двухполюсника относительно зажимов a и b. Для выполнения этой задачи все ЭДС приравниваем к нулю, а вместо ЭДС остаются участки с сопротивлением равным нулю, так как внутреннее сопротивление идеального источника ЭДС току равно нулю (рисунок 3.71). Преобразуем треугольник сопротивлений R5, R4 и R6 в эквивалентную схему соединения «звезда» (рисунок 3.72).
Ом;
Ом;
Ом.
Рисунок 3.71 – Схема к расчету Рисунок 3.72 – Упрощенная схема
входного сопротивления к примеру 3.16.
В соответствии со схемой 3.72:
Ом.
Н
Рисунок 3.73
(3.127)
Из последнего уравнения находим:
.