3. Примеры
Найти частные производные второго порядка функции:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
Проверить равенство:
10.
Доказать,
что
если
Найти дифференциалы второго порядка функции:
11.
12.
13.
14.
15.
Восстановить функцию по ее полному дифференциалу:
16.
17.
18
19.
20.
21 .
22.
4. Ответы
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
.
17.
.
18.
.
19.
.
20.
.
21.
.
22.
.
§ 6. Производная по направлению. Градиент
1. Производная по направлению
Во избежание громоздких обозначений ограничимся рассмотрением, например, случая функции трех переменных.
Пусть
– область в трехмерном пространстве.
Рассмотрим в области
функцию
и некоторую фиксированную точку
.
Пусть
– некоторый ненулевой трехмерный
вектор.
Проведем через
точку
луч
в направлении вектора
и рассмотрим функцию
только в тех точках
,
которые попадают на этот луч.
Пусть
.
Тогда
– приращение
функции
в точке
по направлению
вектора
.
О п р е д е л е н
и е 1. Производной
функции
в точке
по направлению
вектора
называется конечный предел (если он
существует) отношения приращения функции
к расстоянию
при условии, что
и
Используется
обозначение:
Следовательно, имеем:
(1)
Т е о р е м а 1.
Пусть функция
дифференцируема в точке
.
Тогда в точке
существует производная функции
по направлению вектора
и справедливо равенство:
где
направляющие
косинусы вектора
Замечание
1. Если
функция
дифференцируема в точке
,
являющейся внутренней точкой области
,
то в точке
существует производная функции
по любому
направлению
.
З а м е ч а н и е
2. Производные
являются частными случаями производной
по направлению, когда
совпадает, соответственно, с направлением
оси Ох,
Оу или
Оz.
Пример
1.
Для функции
найти производную в точке
в направлении вектора
,
где
.
Решение. 1) Найдем частные производные функции в точке :
,
,
.
Следовательно,
,
,
.
2) Найдем направляющие косинусы вектора . В данном случае
,
откуда
.
Следовательно,
,
,
.
3) Найдем
:
.
О т в е т :
Пример
2.
Для функции
найти производную
в точке
в направлении вектора
а)
;
б)
.
Решение. В данном случае речь идет о функции двух переменных, следовательно, в формуле (2) третье слагаемое будет отсутствовать. Во всем остальном решение примера не будет отличаться от решения примера 1.
1) Найдем частные производные функции в точке :
;
.
2) Найдем направляющие
косинусы векторов
и
.
В
данном случае
Следовательно,
получаем:
для вектора
;
для вектора
.
3)
Найдем
и
:
,
.
Ответ:
а)
;
б)
.
П р и м е р 3.
Найти производную функции
в точке
по направлению а) биссектрисы I
координатного угла;
б) радиуса-вектора
точки
в) вектора
где
Р е ш е н и е. Найдем
частные производные функции
Вычислим их в точке
Тогда по формуле
(2) находим:
где
направляющие
косинусы вектора
а) Для биссектрисы
I
координатного угла
откуда
Следовательно, получаем:
где
б) В данном случае
Поэтому
,
откуда
Следовательно, получаем:
где
в) Так как
то
и
Следовательно, получаем:
О т в е т: а)
б) 1, в) 0.