§ 5. Производные и дифференциалы высших порядков

1. Частные производные высших порядков

Пусть функция в каждой точке области имеет частные производные и Они представляют собой функции от определенные на тогда

Поэтому естественно рассмотреть вопрос о существовании у функций частных производных по и Максимально их будет найдено четыре:

О п р е д е л е н и е 1. Частные производные от функций и называются частными производными второго порядка для исходной функции

Используются следующие обозначения:

О п р е д е л е н и е 2. Частные производные второго порядка и называются смешанными производными второго порядка исходной функции

Т е о р е м а 1 (о равенстве смешанных производных). Пусть функции определены в некоторой окрестности точки и непрерывны в точке . Тогда справедливо равенство:

З а м е ч а н и е 1. Производные второго порядка можно еще раз продифференцировать по или в результате чего будут найдены частные производные третьего порядка. Их будет уже восемь:

Аналогично вводятся частные производные n-го порядка исходной функции Это  первые частные производные от производных го порядка. Для функции любого числа переменных частные производные высших порядков определяются аналогично. Причем смешанные производные любого порядка в точках их непрерывности равны между собой.

П р и м е р 1. Найти частные производные второго порядка для функции

Р е ш е н и е. Найдем частные производные первого порядка:

Найдем частные производные второго порядка:

О т в е т:

П р и м е р 2. Для функции найти все частные производные второго порядка.

Р е ш е н и е. Найдем частные производные по и функции

Поэтому

О т в е т:

П р и м е р 3. Найти и если

Р е ш е н и е. Последовательно находим:

О т в е т:

П р и м е р 4. Найти если

Р е ш е н и е. Последовательно находим:

О т в е т:

2. Дифференциалы высших порядков

Рассмотрим функцию дифференцируемую в точке

О п р е д е л е н и е 3. Дифференциалом второго порядка функции в точке называется полный дифференциал от ее дифференциала первого порядка, вычисленный в точке :

Аналогично вводится дифференциал n-го порядка функции обозначаемый Это – полный дифференциал от ее дифференциала (n1)-го порядка, то есть

В случае функции двух переменных справедливы равенства:

(1)

если независимые переменные;

(2)

если функции одной или нескольких переменных.

З а м е ч а н и е 2. Сравнение формул (1) и (2) приводит к выводу: уже второй дифференциал не обладает свойством инвариантности его формы.

З а м е ч а н и е 3. В формулах (1) и (2) следует различать выражения: и дифференциал второго порядка функции

При решении многих задач полезно знание следующего утверждения.

Т е о р е м а 2 (аналитический признак полного дифференциала). Пусть функции определены в односвязной области и удовлетворяют условиям:

1. непрерывны в

2. существуют функции и являющиеся непрерывными функциями в области

Тогда, для того чтобы выражение в любой точке области было полным дифференциалом некоторой функции необходимо и достаточно выполнения условия:

З а м е ч а н и е 4. Функция о которой говорится в теореме 2, не единственна. Для любой другой функции вида где постоянное число, ее полный дифференциал также совпадает с выражением .

П р и м е р 5. Найти полный дифференциал второго порядка функции

Р е ш е н и е. Находим частные производные первого порядка:

Далее вычисляем все частные производные второго порядка:

Следовательно, воспользовавшись формулой (1), находим:

_{О т в е т:}

П р и м е р 6. Найти второй дифференциал функции

Р е ш е н и е. Последовательно находим:

.

Так как в данном случае независимые переменные, то по формуле (1) находим:

О т в е т:

П р и м е р 7. Найти функцию, полный дифференциал которой равен выражению:

Р е ш е н и е. В данном примере

Поэтому в любой точке плоскости функции и удовлетворяют всем условиям теоремы 2, а значит, существует.

Для построения функции воспользуемся следующей схемой :

1) Составим систему:

(3)

2) Проинтегрируем по первое уравнение этой системы, считая у постоянной величиной:

(4)

где константа интегрирования.

3. Подставим функцию из (4) во второе уравнение системы (3):

4) Решим полученное уравнение:

(5)

где произвольная постоянная.

5) Найдем функцию , подставив (5) в (4):

О т в е т: